Bài 20 trang 15 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài

 Rút gọn các biểu thức sau:

a) \( \sqrt{\dfrac{2a}{3}}\).\( \sqrt{\dfrac{3a}{8}}\) với \(a ≥ 0\);

b) \( \sqrt{13a}.\sqrt{\dfrac{52}{a}}\) với \(a > 0\);

c) \( \sqrt{5a}.\sqrt{45a} - 3a\) với \(a ≥ 0\);

d) \( (3 - a)^{2}- \sqrt{0,2}.\sqrt{180a^{2}}\).

Hướng dẫn giải

Sử dụng các công thức sau:

+) \(\sqrt{a}.\sqrt{b}=\sqrt{a.b}\),   với \(a ,\ b \ge 0\).

+) Với mọi số \(a \ge 0\), luôn có \(\sqrt{a^2}=a\).

+) \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2.\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

  \(\sqrt{\dfrac{2a}{3}}.\sqrt{\dfrac{3a}{8}}=\sqrt{\dfrac{2a}{3}.\dfrac{3a}{8}}=\sqrt{\dfrac{2a.3a}{3.8}}\)

                           \(=\sqrt{\dfrac{(2.3).(a.a)}{3.8}}=\sqrt{\dfrac{6a^2}{24}}\)

                           \(=\sqrt{\dfrac{6a^2}{6.4}}=\sqrt{\dfrac{a^2}{4}}=\sqrt{\dfrac{a^2}{2^2}}\)

                           \(=\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\left| \dfrac{a}{2}\right|\) \(= \dfrac{a}{2}\).

Vì \(a \ge 0\)   nên   \(\dfrac{a}{2} \ge 0 \)  \( \Rightarrow \left| \dfrac{a}{2} \right| = \dfrac{a}{2}\).

b) Ta có:

\(\sqrt{13a}.\sqrt{\dfrac{52}{a}}=\sqrt{13a.\dfrac{52}{a}}=\sqrt{\dfrac{13a.52}{a}}\)

                        \(=\sqrt{\dfrac{13a.(13.4)}{a}}=\sqrt{\dfrac{(13.13).4.a}{a}}\)

                        \(=\sqrt{13^2.4}=\sqrt{13^2}.\sqrt{4}\)

                        \(=\sqrt{13^2}.\sqrt{2^2}=13.2\)

                        \(=26\)    (vì \(a>0\))

c)

Do \(a\geq 0\) nên bài toán luôn được xác định có nghĩa.

Ta có: \(\sqrt{5a}.\sqrt{45a}- 3a=\sqrt{5a.45a}-3a\)

                                        \(=\sqrt{(5.a).(5.9.a)}-3a\)

                                        \(=\sqrt{(5.5).9.(a.a)}-3a\)

                                        \(=\sqrt{5^2.3^2.a^2}-3a\)

                                        \(=\sqrt{5^2}.\sqrt{3^2}.\sqrt{a^2}-3a\)

                                        \(=5.3.\left|a\right|-3a=15 \left|a \right| -3a.\)

                                        \(=15a - 3a = (15-3)a =12a.\)

Vì \(a \ge 0\)   nên  \(\left| a \right| = a.\)

d) Ta có:

\((3 - a)^{2}- \sqrt{0,2}.\sqrt{180a^{2}}=\sqrt{0,2.180a^2}\)

                                             \(= (3-a)^2-\sqrt{0,2.(10.18).a^2}\)

                                             \(=(3-a)^2-\sqrt{(0,2.10).18.a^2}\)

                                             \(=(3-a)^3-\sqrt{2.18.a^2}\)

                                             \(=(3-a)^2-\sqrt{36a^2}\)

                                             \(=(3-a)^2-\sqrt{36}.\sqrt{a^2}\)

                                             \(=(3-a)^2-\sqrt{6^2}.\sqrt{a^2}\)

                                             \(=(3-a)^2-6.\left|a\right|\).

+) \(TH1\): Nếu \(a\geq 0\Rightarrow |a|=a\).

Do đó: \((3 - a)^{2}- 6\left|a\right|=(3-a)^2-6a\)

                                        \(=(3^2-2.3.a+a^2)-6a\)

                                        \(=(9-6a+a^2)-6a\)

                                        \(=9-6a+a^2-6a\)

                                        \(=a^2+(-6a-6a)+9\)

                                        \(=a^2+(-12a)+9\)

                                        \(=a^2-12a+9\).

+) \(TH2\): Nếu \(a<0\Rightarrow |a|=-a\).

Do đó: \((3 - a)^{2}- 6\left|a\right| =(3-a)^2-6.(-a)\)

                                        \(=(3^2-2.3.a+a^2)-(-6a)\)

                                        \(=(9-6a+a^2)+6a\)

                                        \(=9-6a+a^2+6a\)

                                        \(=a^2+(-6a+6a)+9\)

                                        \(=a^2+9\).

Vậy \((3 - a)^{2}- \sqrt{0,2}.\sqrt{180a^{2}}=a^2-12a+9\),   nếu \(a \ge 0\).

        \((3 - a)^{2}- \sqrt{0,2}.\sqrt{180a^{2}}=a^2+9\),   nếu   \(a <0\).