Bài 24 trang 15 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài

Rút gọn và tìm giá trị (làm tròn đến chữ số thập phân thứ \(3\)) của các căn thức sau:

\(a)\) \( \sqrt{4(1 + 6x + 9x^{2})^{2}}\) tại \(x =  - \sqrt 2 \);

\(b)\) \( \sqrt{9a^{2}(b^{2} + 4 - 4b)}\) tại \(a =  - 2;\,\,b =  - \sqrt 3 \).

Hướng dẫn giải

Sử dụng các công thức sau:

+) \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).

+) \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).

+) \( \sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}\),   với \(a ,\ b \ge 0\).

+) \(\sqrt{a^2}=\left|a\right|\).

+) Nếu \(a \ge 0\)   thì \(\left|a\right|=a\).

    Nếu \(a<0\)   thì \(\left| a\right|=-a\).

+) \(a^m. b^m=(ab)^m\),    với \(m ,\ n \in \mathbb{Z}\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\( \sqrt{4(1 + 6x + 9x^{2})^{2}}\) \(=\sqrt {4}. \sqrt {{{(1 + 6x + 9{x^2})}^2}} \)

                                   \(=\sqrt{4}.\sqrt{(1+2.3x+3^2.x^2)^2}\)

                                   \(=\sqrt{2^2}.\sqrt{\left[1^2+2.3x+(3x)^2\right]^2}\)

                                   \(=2.\sqrt {{{\left[ {{{\left( {1 + 3x} \right)}^2}} \right]}^2}} \)

                                   \(=2.\left|(1+3x)^2\right|\)

                                   \(=2(1+3x)^2\).

 Vì  \( (1+3x)^2 \ge 0 \) với mọi \(x\)  nên \(\left|(1+3x)^2\right|=(1+3x)^2  \).

Thay \(x =  - \sqrt 2 \) vào biểu thức rút gọn trên, ta được: 

                                \( 2{\left[ {1 + 3.(-\sqrt 2) } \right]^2}=2(1-3\sqrt{2})^2\).

Bấm máy tính, ta được: \( 2{\left( {1 - 3\sqrt 2 } \right)^2} \approx 21,029\).

b) Ta có:

\( \sqrt{9a^{2}(b^{2} + 4 - 4b)} =\sqrt{3^2.a^2.(b^2-4b+4)}\)

                                  \(=\sqrt{(3a)^2.(b^2-2.b.2+2^2)}\)

                                  \(=\sqrt{(3a)^2}. \sqrt{(b-2)^2}\)

                                  \(=\left|3a\right|. \left|b-2\right| \)

Thay \(a = -2\) và \(b =  - \sqrt 3 \) vào biểu thức rút gọn trên, ta được:

\(\left| 3.(-2)\right|. \left| -\sqrt{3}-2\right| =\left|-6\right|.\left|-(\sqrt{3}+2) \right|\)

                                     \(=6.(\sqrt{3}+2)=6\sqrt{3}+12\).

Bấm máy tính, ta được: \(6\sqrt{3}+12 \approx 22,392\).