- Các bài toán liên quan đến mặt cầu và mặt phẳng - Có lời giải chi tiết

Câu 1 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(2;1;-1) và tiếp xúc với mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình \(2x - 2y - z + 3 = 0\). Bán kính của (S) là

A 2

B \(\frac{2}{3}\)

C \(\frac{2}{9}\)

D \(\frac{4}{3}\)

Câu 2 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(3;2;-1) và đi qua điểm A(2;1;2). Mặt phẳng nào dưới đây tiếp xúc với (S) tại A?

A \(x + y - 3z - 8 = 0\)

B \(x - y - 3z + 3 = 0\)

C \(x + y + 3z - 9 = 0\)

D \(x + y - 3z + 3 = 0\)

Câu 3 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \((P):2x + 2y - z + 3 = 0\) và điểm \(I(1;2;3)\). Mặt cầu (S) tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P) có phương trình:

A \({(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 3)^2} = 4\)

B \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 4\)

C \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 2\)

D \({(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 3)^2} = 2\)

Câu 4 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 4z = 0\). Phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) tại \(M(3;4;3)\) là:

A \({\rm{2x + 4y + z - 25 = 0}}\)

B \(2x + 2y + z - 17 = 0\)

C \(4x + 4y - 2z - 22 = 0\)

D \(x + y + z - 10 = 0\)

Câu 5 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu \((S):{(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z + 2)^2} = 4\) và 2 đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 - t\\z = t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{y}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\). Một phương trình mặt phẳng (P) song song với \({\Delta _1},{\Delta _2}\) và tiếp xúc với mặt cầu (S) là:

A \(x + z + 3 - 2\sqrt 2 = 0\)

B \(y + z - 3 - 2\sqrt 2 = 0\)

C \(x + y + 3 + 2\sqrt 2 = 0\)

D \(y + z + 3 + 2\sqrt 2 = 0\)

Câu 6 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(\left\{\begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 1 - 3t\\z = - 3 + 2t\end{array} \right.\) và mặt phẳng (P) có phương trình \( x + 2y + z + 9 = 0\). Phương trình mặt cầu nào trong các phương trình sau tiếp xúc với mặt phẳng (P) có tâm thuộc đường thẳng d và có bán kính \(R = \sqrt{\frac{3}{2}} \) .

A \({x^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 1)^2} = \frac{3}{2}\)

B \({(x + 3)^2} + {(y - 10)^2} + {(z + 5)^2} = \frac{3}{2}\)

C \({(x + 3)^2} + {(y - 4)^2} + {(z - 1)^2} = \frac{3}{2}\)

D \({(x - 5)^2} + {(y + 10)^2} + {(z - 3)^2} = \frac{3}{2}\)

Câu 7 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình\({(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 14\). Mặt cầu (S) cắt trục Oz tại A và B \(({z_A} < 0)\). Phương trình nào sau đây là phương trình tiếp diện của (S) tại B.

A \(2x - y - 3z + 9 = 0\)

B \(x - 2y - z - 3 = 0\)

C \(2x - y - 3z - 9 = 0\)

D \(x - 2y + z + 3 = 0\)

Câu 8 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm B(1;1;9) và C(1;4;0). Mặt cầu (S) đi qua điểm B và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) tại C có phương trình là

A \({(x - 1)^2} + {(y - 4)^2} + {(z - 5)^2} = 25\)

B \({(x - 1)^2} + {(y + 4)^2} + {(z - 5)^2} = 25\)

C \({(x + 1)^2} + {(y - 4)^2} + {(z - 5)^2} = 25\)

D \({(x - 1)^2} + {(y - 4)^2} + {(z + 5)^2} = 25\)

Câu 9 : Trong không gian Oxyz, cho \((P):x + y - 2z + 6 = 0\). Một phương trình mặt cầu (S) có bán kính \(R = \sqrt 6 \)và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm \(M( - 1; - 1;2)\)

A \(\left[ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} = 6\\{(x + 2)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 4)^2} = 6\end{array} \right.\)

B \(\left[ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} = 6\\{(x + 2)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 4)^2} = 6\end{array} \right.\)

C \(\left[ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} = 6\\{(x + 2)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 4)^2} = 6\end{array} \right.\)

D \(\left[ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} = 6\\{(x - 2)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 4)^2} = 6\end{array} \right.\)

Câu 10 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình \(2x - 2y - z - 4 = 0\) và mặt cầu (S) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 11 = 0\) . Bán kính đường tròn giao tuyến là

A 2

B 5

C 3

D 4

Câu 11 : Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 4 = 0\) cắt mặt phẳng \((P):x + y - z + 4 = 0\) theo giao tuyến là đường tròn \((C)\). Tính diện tích \(S\) của hình tròn giới hạn bởi \((C)\).

A \(S = \frac{{2\pi \sqrt {78} }}{3}\)

B \(S = 6\pi \)

C \(S = \frac{{26\pi }}{3}\)

D \(S = 2\pi \sqrt 6 \)

Câu 12 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 10z + 14 = 0\) và mặt phẳng \((P):x + y + z - 4 = 0\). Biết mặt cầu \((S)\) cắt mặt phẳng \((P)\) theo một đường tròn \((C)\). Tính chu vi của đường tròn \((C)\).

A \(4\sqrt 2 \pi \)

B \(4\pi \)

C \(8\pi \)

D \(2\pi \)

Câu 13 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + x - y + z - 1 = 0\) cắt mặt phẳng \(Oxy\) theo giao tuyến là một đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn này.

A \(I'( - \frac{1}{2},\frac{1}{2},0),r = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\)

B \(I'( - \frac{1}{2},\frac{1}{2},0),r = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)

C \(I'( - \frac{1}{2},\frac{1}{2},0),r = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

D \(I'( - 1,1,0),r = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\)

Câu 14 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình \(2x + y - 2z + 10 = 0\) và điểm I(2;1;3). Phương trình mặt cầu (S) tâm I cắt mặt phẳng (P) theo một giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính bằng 4 là

A \({(x + 2)^2} + {(y + 1)^2} + {(z + 3)^2} = 25\)

B \({(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 3)^2} = 9\)

C \({(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 3)^2} = 7\)

D \({(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 3)^2} = 25\)

Câu 15 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(I(2;0;1)\)và mặt phẳng \((P):2x - 2y + z + 5 = 0\). Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) tâm I theo giao tuyến là 1 đường tròn diện tích là \(10\pi \). Phương trình mặt cầu (S) là:

A \({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = \frac{{190}}{3}\)

B \({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 35\)

C \({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 100\)

D \({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = \frac{{190}}{9}\)

Câu 16 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(I(1;2;4)\) và mặt phẳng (P) có phương trình \(x + y + z + 1 = 0\). Phương trình mặt cầu (S) có tâm I, biết mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (P) theo thiết diện là một đường tròn có chu vi \(4\pi \) là

A \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 4)^2} = \frac{{76}}{3}\)

B \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 4)^2} = 9\)

C \({(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 4)^2} = \frac{{76}}{3}\)

D \({(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 4)^2} = 9\)

Câu 17 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \((P):x + y + z - 3\sqrt 3 = 0\)và mặt cầu \((S):{(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 25\). Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là 1 đường tròn có chu vi là \(8\pi \)

A \((Q):x + y + z - 3 = 0\)

B \((Q):x + y + z + \sqrt 3 = 0\)

C \((Q):x + y + z - \sqrt 3 = 0\)

D \((Q):x + y + z + 3\sqrt 3 = 0\)

Câu 18 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình \(2x - 3y - z - 2 = 0\). Một phương trình mặt cầu \((S)\) có tâm I thuộc tia Ox sao cho mặt phẳng (P) cách I một khoảng bằng \(\sqrt {14} \) và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là đường tròn có đường kính bằng 4 là:

A \({(x - 8)^2} + {y^2} + {z^2} = 18\)

B \({x^2} + {(y - 8)^2} + {z^2} = 8\)

C \({(x - 8)^2} + {y^2} + {z^2} = 8\)

D \({x^2} + {(y - 8)^2} + {z^2} = 16\)

Câu 19 : Trong không gian Oxyz, gọi (C) là đường tròn giao tuyến của mặt phẳng \((P):3x + 2y + 3z = 0\) và mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 4z = 0\). Phương trình của mặt cầu chứa đường tròn \((C)\) và đi qua điểm \(A(1;2; - 1)\) là

A \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 5x - 4y - 7z = 0\)

B \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 2y + 2z = 0\)

C \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 5x - 4y - 7z = 0\)

D \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 7x - z = 0\)

Câu 20 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):{(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 2)^2} = 4\) và điểm \(A(1;1; - 1)\). Ba mặt phẳng thay đổi đi qua A và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu (S) theo ba giao tuyến là các đường tròn \(({C_1}),({C_2}),({C_3})\). Tính tổng diện tích của ba hình tròn \(({C_1}),({C_2}),({C_3})\).

A \(4\pi \)

B \(12\pi \)

C \(11\pi \)

D \(3\pi \)

- Các bài toán liên quan đến mặt cầu và mặt phẳng...