Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(I(...

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(I(1;2;4)\) và mặt phẳng (P) có phương trình \(x + y + z + 1 = 0\). Phương trình mặt cầu (S) có tâm I, biết mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (P) theo thiết diện là một đường tròn có chu vi \(4\pi \) là

A \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 4)^2} = \frac{{76}}{3}\)

B \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 4)^2} = 9\)

C \({(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 4)^2} = \frac{{76}}{3}\)

D \({(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 4)^2} = 9\)

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức \(C = 2\pi .r\) để tìm bán kính của đường tròn giao tuyến

Với

\(IA = R\) : bán kính của mặt cầu\(HA = r\) : bán kính đường tròn giao tuyến\(IH = d\left( {I;P} \right)\)

Ta có hệ thức \(I{A^2} = A{H^2} + I{H^2}\)ta tìm được bán kính R của mặt cầu.

Sau đó, viết phương trình mặt cầu tâm I và bán kính R.

Giải chi tiết:

\(C = 2\pi r = 4\pi \Rightarrow r = 2 \Rightarrow AH = 2\)\(d(I;P) = \frac{{\left| {1 + 2 + 4 + 1} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 1} }} = \frac{8}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow IH = \frac{8}{{\sqrt 3 }}\)\(I{A^2} = A{H^2} + I{H^2} = 4 + \frac{{64}}{3} = \frac{{76}}{3} \Rightarrow {R^2} = \frac{{76}}{3}\)

Phương trình mặt cầu tâm \(I(1;2;4)\) bán kính R là: \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 4)^2} = \frac{{76}}{3}\)

Chọn đáp án: A

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

- Các bài toán liên quan đến mặt cầu và mặt phẳng - Có lời giải chi tiết

↑