Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu \(...

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu $(S):{(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z + 2)^2} = 4$ và 2 đường thẳng ${\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 - t\\z = t\end{array} \right.$ và ${\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{y}{1} = \frac{z}{{ - 1}}$. Một phương trình mặt phẳng (P) song song với ${\Delta _1},{\Delta _2}$ và tiếp xúc với mặt cầu (S) là:

A $x + z + 3 - 2\sqrt 2 = 0$

B $y + z - 3 - 2\sqrt 2 = 0$

C $x + y + 3 + 2\sqrt 2 = 0$

D $y + z + 3 + 2\sqrt 2 = 0$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

(P) song song với ${\Delta _1},{\Delta _2}$ suy ra ta có $\overrightarrow {{n_P}} ={\rm{[}}\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} {\rm{]}}$ (S) tiếp xúc với (P) $ \Leftrightarrow R = d(I;P)$

Giải chi tiết:

(S) có tâm $I(1; - 1; - 2);R = 2$

Vì (P) song song với ${\Delta _1},{\Delta _2}$ có vtcp tương ứng là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 1;1} \right);\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;1; - 1} \right)$ ta có $\overrightarrow {{n_P}} ={\rm{[}}\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} {\rm{]}} = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\1&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\{ - 1}&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\{ - 1}&1\end{array}} \right|} \right) =(0;1;1)$

Gọi $(P):y + z + d = 0$

$\begin{array}{l}d(I;P) = \frac{{\left| { - 1 - 2 + d} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\left| {d - 3} \right|}}{{\sqrt 2 }}\\ \Rightarrow \frac{{\left| {d - 3} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d - 3 = 2\sqrt 2 \\d - 3 = - 2\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 3 + 2\sqrt 2 \\d = 3 - 2\sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y + z + 3 + 2\sqrt 2 = 0\\y + z + 3 - 2\sqrt 2 = 0\end{array} \right.\end{array}$

Chọn D

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

- Các bài toán liên quan đến mặt cầu và mặt phẳng - Có lời giải chi tiết

↑