Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(I(...

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(I(2;0;1)\)và mặt phẳng \((P):2x - 2y + z + 5 = 0\). Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) tâm I theo giao tuyến là 1 đường tròn diện tích là \(10\pi \). Phương trình mặt cầu (S) là:

A \({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = \frac{{190}}{3}\)

B \({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 35\)

C \({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 100\)

D \({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = \frac{{190}}{9}\)

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức \(S = \pi .{r^2}\) để tìm bán kính của đường tròn giao tuyến

Với

\(IA = R\) : bán kính của mặt cầu\(HA = r\) : bán kính đường tròn giao tuyến\(IH = d\left( {I;P} \right)\)

Ta có hệ thức \(I{A^2} = A{H^2} + I{H^2}\)ta tìm được bán kính R của mặt cầu.

Sau đó, viết phương trình mặt cầu tâm I và bán kính R.

Giải chi tiết:

\(S = \pi {r^2} = 10\pi \Rightarrow {r^2} = 10 \Rightarrow r = \sqrt {10} \Rightarrow AH = \sqrt {10} \)\(d(I;P) = \frac{{\left| {2.2 - 2.0 + 1 + 5} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = \frac{{10}}{3} \Rightarrow IH = \frac{{10}}{3}\)\(I{A^2} = A{H^2} + I{H^2} = 10 + \frac{{100}}{9} = \frac{{190}}{9} \Rightarrow {R^2} = \frac{{190}}{9}\)

Phương trình mặt cầu tâm \(I(2;0;1)\) bán kính R là: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = \frac{{190}}{9}\)

Chọn đáp án: D

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

- Các bài toán liên quan đến mặt cầu và mặt phẳng - Có lời giải chi tiết

↑