Đề thi online Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến cơ bản tiết 3 Có lời giải chi tiết.

Câu 1 : Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2x - 1} .\)

A \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = {2 \over 3}\left( {2x - 1} \right)\sqrt {2x - 1} + C.\)

B \( \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = {1 \over 3}\left( {2x - 1} \right)\sqrt {2x - 1} + C.\)

C \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - {1 \over 3}\sqrt {2x - 1} + C.\)

D \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = {1 \over 2}\sqrt {2x - 1} + C\)

Câu 2 : Cho \(\int {{{{\rm{d}}x} \over {\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}} = {m \over {1 + \sqrt x }} + C,\) với \(m \in Q\). Giá trị m thuộc khoảng nào dưới đây ?

A \((0;2)\)

B \((3;7)\)

C \((-5;-3)\)

D \((-3;1)\)

Câu 3 : Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^5}\sqrt {{x^3} + 3} \) khi đặt \(t = \sqrt {{x^3} + 3} \) là:

A \({{2{t^5}} \over {15}} - {{2{t^3}} \over 3} + C.\)

B \({{2{t^5}} \over 5} - {{{t^3}} \over 2} + C.\)

C \({{{t^5}} \over 5} - {{{t^3}} \over 3} + C.\)

D \({{2{t^5}} \over {15}} + {{2{t^3}} \over 3} + C.\)

Câu 4 : Cho nguyên hàm \(I = \int {\sqrt {1 - {x^2}} \,{\rm{d}}x} \), \(x \in \left[ {0;{\pi \over 2}} \right]\) , nếu đặt \(x = \sin t\) thì nguyên hàm I tính theo biến t trở thành:

A \(I = t + \sin 2t + C.\)

B \(I = {t \over 2} + \cos 2t + C.\)

C \(I = {t \over 2} + {{\sin 2t} \over 4} + C.\)

D \(I = {t \over 2} - {{\cos 2t} \over 4} + C.\)

Câu 5 : Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {3 - 2x - {x^2}} ,\) nếu đặt \(x = 2\sin t - 1,\) khi đó \(\int {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} \) bằng:

A \(\int {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} = 4\int {{{\cos }^2}t\,\,{\rm{d}}t} .\)

B \(\int {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} = t + \sin 2t + C.\)

C \(\int {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} = \int {\left( {1 + \cos 2t} \right)\,\,{\rm{d}}t} \)

D \(\int {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} = 2t - \sin 2t + C\)

Câu 6 : Một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {1 \over {\sqrt {4 - {x^2}} }}\) là

A \(\int {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} = {1 \over 2}\arcsin {x \over 2} + C\)

B \(\int {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} = \arcsin {x \over 2} + 1\)

C \(\int {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} = \,\arccos {x \over 2} + C.\)

D \(\int {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} = - \,{1 \over 2}\arccos {x \over 2} + 1.\)

Câu 7 : Nếu đặt \(x = \sin t\) thì nguyên hàm \(\int {{x^2}\sqrt {1 - {x^2}} \,{\rm{d}}x} \) có dạng \({t \over a} - {{\sin 4t} \over b} + C\) với \(a,\,\,b \in Z\).Tính tổng \(S = a + b.\)

A 24

B 28

C 32

D 40

Câu 8 : Nếu đặt \(x = \tan t\) thì nguyên hàm \(I = \int {{{{\rm{d}}x} \over {\sqrt {1 + {x^2}} }}} \) bằng

A \(I = {1 \over 2}\ln \left| {{{1+\sin t} \over {1 - \sin t}}} \right| + C.\)

B \(I = {1 \over 2}\ln \left| {{{1 - \cos t} \over {1 + \cos t}}} \right| + C.\)

C \(I = {1 \over 2}\ln \left( {{{\cos }^2}t} \right) + C.\)

D \(I = {1 \over 2}\ln \left( {{{\sin }^2}t} \right) + C.\)

Câu 9 : Cho nguyên hàm \(I = \int {{{\sqrt {{x^2} - 1} } \over {{x^3}}}\,{\rm{d}}x} .\) Nếu đổi biến số \(x = {1 \over {\sin t}}\) với \(t \in \left[ {{\pi \over 4};{\pi \over 2}} \right]\) thì

A \(I = - \,\int {{{\cos }^2}t\,\,{\rm{d}}t} \)

B \(I = \int {{{\sin }^2}t\,\,{\rm{d}}t} .\)

C \(I = \int {{{\cos }^2}t\,\,{\rm{d}}t} .\)

D \(I = \int {\left( {1 - \cos 2t} \right)\,\,{\rm{d}}t} .\)

Câu 10 : Nguyên hàm \(\int {{{\sin 2x} \over {1 + \sin x}}{\rm{d}}x} = m.\ln \left| {\sin x + 1} \right| + n.\sin x + C,\) với \(m,\,\,n \in Q.\) Tính \({m^2} + {n^2}.\)

A 10

B 13

C 5

D 8

Câu 11 : Xét các mệnh đều sau, với C hằng số1) \(\int {\tan x\,{\rm{d}}x} = - \,\,\ln \left( {\cos x} \right) + C.\)2) \(\int {{e^{3\cos x}}.\sin x\,{\rm{d}}x} = - {1 \over 3}{e^{3\,\,\cos x}} + C.\)3) \(\int {{{\cos x + \sin x} \over {\sqrt {\sin x - \cos x} }}{\rm{d}}x} = 2\sqrt {\sin x - \cos x} + C.\)Số các mệnh đề đúng là

A 0

B 1

C 2

D 3

Câu 12 : Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(y = {{\ln x} \over x}.\) Nếu \(F\left( {{e^2}} \right) = 4\) thì \(\int {{{\ln x} \over x}{\rm{d}}x} \) bằng

A \(F\left( x \right) = {{{{\ln }^2}x} \over 2} + C.\)

B \(F\left( x \right) = {{{{\ln }^2}x} \over 2} + 2.\)

C \(F\left( x \right) = {{{{\ln }^2}x} \over 2} - 2.\)

D \(F\left( x \right) = {{{{\ln }^2}x} \over 2} + x + C.\)

Câu 13 : Biết rằng \(F\left( x \right) = \int {{{{\rm{d}}x} \over {1 + \sqrt {2 - x} }}} = f\left( x \right) + C\) và \(F\left( { - \,2} \right) = - \,1,\) giá trị của C gần với giá trị nào sau đây nhất ?

A \({1 \over 2}.\)

B \({3 \over 2}.\)

C 1

D 2

Câu 14 : Cho \(F\left( x \right) = \int {{{\ln x - 2} \over {x\left( {\ln x + 1} \right)}}{\rm{d}}x} .\) Giá trị của biểu thức \(F\left( e \right) - F\left( 1 \right)\) thuộc khoảng?

A \(\left( { - \,2; - \,1} \right).\)

B \(\left( { - \,1;0} \right).\)

C \(\left( {0;1} \right).\)

D \(\left( {1;2} \right).\)

Câu 15 : Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {1 \over {{e^x} - 1}}.\)

A \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - \,\ln \left| {{{{e^x} - 1} \over {{e^x}}}} \right| + C.\)

B \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \ln \left| {{{{e^x} - 1} \over {{e^x}}}} \right| + C.\)

C \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - {1 \over 2}.\ln \left| {{{{e^x} - 1} \over {{e^x}}}} \right| + C.\)

D \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = {1 \over 2}.\ln \left| {{{{e^x} - 1} \over {{e^x}}}} \right| + C.\)

Câu 16 : Nguyên hàm \(\int {{{{x^2} + {e^x} + 2{x^2}{e^x}} \over {1 + 2{e^x}}}{\rm{d}}x} \) có dạng \({{{x^3}} \over a} + b\ln \left| {2{e^x} + 1} \right| + C\) với \(a,\,\,b \in Q.\) Tính giá trị biểu thức \(P = a + 2b + 4ab.\)

A P = 7

B P = – 1

C P = 10

D P = – 5

Câu 17 : Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {{x\sin x + \left( {x + 1} \right)\cos x} \over {x\sin x + \cos x}}.\) Biết \(F\left( 0 \right) = 1,\) Tính giá trị biểu thức \(F\left( {{\pi \over 2}} \right).\)

A \({{{\pi ^2}} \over 2} + \ln {\pi \over 2}.\)

B \({{{\pi ^2}} \over 4} - \ln {\pi \over 2} + 1.\)

C \({{{\pi ^2}} \over 8}.\)

D \({{\pi} \over 2} + \ln {\pi \over 2} + 1.\)

Câu 18 : Đặt \(t = \sqrt {2 + \ln x} \) và \(\int {{{\ln x\sqrt {2 + \ln x} } \over {2x}}{\rm{d}}x} = F\left( t \right) + C,\) giá trị của \(F\left( 1 \right)\) thuộc khoảng

A \(\left( { - {1 \over 2};0} \right).\)

B \(\left( {0;{1 \over 2}} \right).\)

C \(\left( {{1 \over 2};1} \right).\)

D \(\left( {1;{3 \over 2}} \right).\)

Câu 19 : Đặt \(t = \sqrt {1 + x} \) thì nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x \over {1 + \sqrt {1 + x} }}\) theo biến t là:

A \({t^3} - {t^2} + C.\)

B \({{2{t^3}} \over 3} - {t^2} + C.\)

C \({{{t^3}} \over 3} - {{{t^2}} \over 2} + C.\)

D \(2{t^2} - 2t + C.\)

Câu 20 : Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {1 - 2x\sqrt {1 - {x^2}} } \) với \(x \in \left[ {0;\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right]\). Biết rằng \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\). F(x) bằng ?

A \({t \over 2} + {{\sin 2t - cos2t} \over 4} + C\)

B \({t \over 2} + {{\sin 2t + cos2t} \over 4} + C\)

C \(t - {{\sin 2t + cos2t} \over 4} + C\)

D \( - {t \over 2} - {{\sin 2t + cos2t} \over 4} + C\)

Đề thi online Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổ...