Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hà...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

Ta có \(f\left( x \right) = {{x\sin x + \cos x + x\cos x} \over {x\sin x + \cos x}} = 1 + {{x\cos x} \over {x\sin x + \cos x}}.\)

Khi đó \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int {\left( {1 + {{x\cos x} \over {x\sin x + \cos x}}} \right){\rm{d}}x}  = \int {1\,{\rm{d}}x}  + \int {{{x\cos x} \over {x\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x.} \)

Đặt \(t = x\sin x + \cos x \Leftrightarrow {\rm{d}}t = \left( {x\sin x + \cos x} \right){\rm{'d}}x = \left( {\sin x + x\cos x - \sin x} \right)dx = x\cos x\,{\rm{d}}x.\)

Suy ra \(\int {{{x\cos x} \over {x\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x}  = \int {{{{\rm{d}}t} \over t}}  = \ln \left| t \right| + C = \ln \left| {x\sin x + \cos x} \right| + C.\)

Do đó

\(\eqalign{  & F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = {x} + \ln \left| {x\sin x + \cos x} \right| + C.  \cr  &  \Rightarrow F\left( 0 \right) = C = 1 \Rightarrow F\left( x \right) = {x} + \ln \left| {x\sin x + \cos x} \right| + 1.  \cr  &  \Rightarrow F\left( {{\pi  \over 2}} \right) = {{\pi } \over 2} + \ln {\pi  \over 2} + 1. \cr} \)

Chọn D.