Nguyên hàm \(\int {{{\sin 2x} \over {1 + \sin x}}{...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Đặt \(t = \sin x \Leftrightarrow {\rm{d}}t = \cos x\,{\rm{d}}x \) \(\Leftrightarrow 2t\,{\rm{d}}t = 2\sin x\cos x\,{\rm{d}}x = \sin 2x\,{\rm{d}}x.\)

Khi đó \(\int {{{\sin 2x} \over {1 + \sin x}}{\rm{d}}x}  = \int {{{2t} \over {t + 1}}{\rm{d}}t}  = \int {{{2\left( {t + 1} \right) - 2} \over {t + 1}}{\rm{d}}t}  \) \(= \int {\left( {2 - {2 \over {t + 1}}} \right){\rm{d}}t}  = 2t - 2\ln \left| {t + 1} \right| + C\)

Với \(t = \sin x\) suy ra \(\int {{{\sin 2x} \over {1 + \sin x}}{\rm{d}}x}  = 2\sin x - 2\ln \left| {\sin x + 1} \right| + C \) \(\Rightarrow \left\{ \matrix{  m =  - \,2 \hfill \cr  n = 2 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow {m^2} + {n^2} = 8.\)

Chọn D.