Nếu đặt \(x = \sin t\) thì nguyên hàm \(\int {{x^2...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

Đặt \(x = \sin t \Leftrightarrow {\rm{d}}x = \cos t\,{\rm{d}}t\) và \(1 - {x^2} = 1 - {\sin ^2}t = {\cos ^2}t.\)

Khi đó \(I = \int {{x^2}\sqrt {1 - {x^2}} \,{\rm{d}}x}  = \int {{{\sin }^2}t.\sqrt {{{\cos }^2}t} .\cos t\,{\rm{d}}t}  = \int {{{\sin }^2}t.{{\cos }^2}t\,{\rm{d}}t} .\)

Mặt khác \(\sin t.\cos t = {1 \over 2}\sin 2t \Leftrightarrow {\sin ^2}t.{\cos ^2}t = {1 \over 4}{\sin ^2}2t = {1 \over 4}.{{1 - \cos 4t} \over 2} = {{1 - \cos 4t} \over 8}.\)

Vậy \(I = {1 \over 8}\int {\left( {1 - \cos 4t} \right)\,{\rm{d}}t}  = {t \over 8} - {{\sin 4t} \over {32}} + C = {t \over a} - {{\sin 4t} \over b} + C \Rightarrow \left\{ \matrix{  a = 8 \hfill \cr  b = 32 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow S = 40.\)

Chọn D.