Nếu đặt \(x = \tan t\) thì nguyên hàm \(I = \int {...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Đặt \(x = \tan t \Leftrightarrow {\rm{d}}x = \dfrac{{{\rm{d}}t}}{{{{\cos }^2}t}}\) và \(\dfrac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}t} }} = \cos t.\)

Khi đó \(\int {\dfrac{{{\rm{d}}x}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = } \int {\cos t.\dfrac{{{\rm{d}}t}}{{{{\cos }^2}t}}}  = \int {\dfrac{{\cos t}}{{1 - {{\sin }^2}t}}{\rm{d}}t}  = \int {\dfrac{{{\rm{d}}\left( {\sin t} \right)}}{{1 - {{\sin }^2}t}}} \)

\(\begin{array}{l}
= \int {\frac{{{\rm{d}}u}}{{1 - {u^2}}}} = \frac{1}{2}\int {\left( {\frac{1}{{1 - u}} + \frac{1}{{1 + u}}} \right){\rm{d}}u} \\
= \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{1 + u}}{{1 - u}}} \right| + C\\
= \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{1 + \sin t}}{{1 - \sin t}}} \right| + C
\end{array}\)

với \(u = \sin t.\)

Vậy nguyên hàm \(\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}}  = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{1 + \sin t}}{{1 - \sin t}}} \right| + C.\)

Chọn A.