- Các bài toán liên quan đến mặt cầu và đường thẳng - Có lời giải chi tiết

Câu 1 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):{x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + z{}^2 = {R^2}\). Điều kiện của bán kính R để trục Ox tiếp xúc với (S) là:

A \(R = 4\)

B \(R = 2\)

C \(R = \pm 1\)

D \(R = 1\)

Câu 2 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(A(1; - 2;3)\) và đường thẳng d có phương trình \(\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z + 3}}{{ - 1}}\). Tính đường kính của mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng d.

A \(5\sqrt 2 \)

B \(10\sqrt 2 \)

C \(2\sqrt 5 \)

D \(4\sqrt 5 \)

Câu 3 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm \(I(2;0;1)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}\) là:

A \({(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 2\)

B \({(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 9\)

C \({(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 4\)

D \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 1)^2} = 24\)

Câu 4 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu tâm \(I(1; - 2;3)\) và tiếp xúc với trục Oy là

A \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 10\)

B \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 16\)

C \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 8\)

D \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 9\)

Câu 5 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(x = y = z\). Trong bốn phương trình mặt cầu dưới đây, phương trình mặt cầu không có hai điểm chung phân biệt với \(\Delta \) là:

A \({x^2} + {y^2} + {z^2} + x + y + z - 6 = 0\)

B \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 2z - 3 = 0\)

C \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 3y + 5z + 3 = 0\)

D \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 7x - 2z + 6 = 0\)

Câu 6 : Trong bốn phương trình mặt cầu dưới đây, phương trình mặt cầu có điểm chung với trục Oz là:

A \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 8y + 2z + 2 = 0\)

B \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + 2 = 0\)

C \({x^2} + {y^2} + {z^2} + x - 2y + z + 1 = 0\)

D \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 4z + 4 = 0\)

Câu 7 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 50\). Trong số các đường thẳng sau, mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng nào.

A \(\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z + 3}}{{ - 1}}\)

B Trục Ox

C Trục Oy

D Trục Oz

Câu 8 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A(1; - 2; - 4)\), \(B(2;3;4)\) và \(C(3;5;7)\). Phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với BC là

A \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 4)^2} = \dfrac{{35}}{{14}}\)

B \({(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 4)^2} = \sqrt {\dfrac{{35}}{{14}}} \)

C \({(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 4)^2} = \dfrac{{35}}{{14}}\)

D \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 4)^2} = \sqrt {\dfrac{{35}}{{14}}} \)

Câu 9 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm\(A(1;2;2)\), \(B( - 2;1;4)\) và \(C(0;3; 2)\). Mặt cầu (S) đi qua các điểm A, B, C và tiếp xúc với Oy có phương trình là

A \({(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 5\)

B \({(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 2)^2} = 5\)

C \({(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 2)^2} = 5\)

D \({(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 5\)

Câu 10 : Xét đường thẳng d có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\) và mặt cầu (S) có phương trình \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 4\). Nhận xét nào sau đây đúng.

A d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A, B và \(AB < 2R\)

B d không có điểm chung với (S)

C d tiếp xúc với (S)

D d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A, B và AB đạt GTLN.

Câu 11 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + \left( {z - 3} \right){}^2 = 9\) và đường thẳng \(d:x - 1 = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z - 4}}{3}\). (d) cắt (S) tại hai điểm phân biệt A và B. Khi đó AB bằng:

A \(AB = \dfrac{{\sqrt {126} }}{7}\)

B \(AB = \dfrac{{\sqrt {123} }}{7}\)

C \(AB = \sqrt {\dfrac{{126}}{7}} \)

D \(AB = \dfrac{{\sqrt {129} }}{7}\)

Câu 12 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm \(I(3; - 2;0)\) và cắt trục Oy tại hai điểm A, B mà \(AB = 8\) là

A \({(x - 3)^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 9\)

B \({(x + 3)^2} + {(y - 2)^2} + {z^2} = 25\)

C \({(x - 3)^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 64\)

D \({(x - 3)^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 25\)

Câu 13 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 5 + 2t\\y = 7 - 2t\\z = t\end{array} \right.\) và điểm \(I(4;1;6)\). Đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tâm I tại hai điểm A, B sao cho \(AB = 6\). Phương trình của mặt cầu (S) là

A \({(x - 4)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 6)^2} = 18\)

B \({(x - 4)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 6)^2} = 16\)

C \({(x - 4)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 6)^2} = 12\)

D \({(x - 4)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 6)^2} = 9\)

Câu 14 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + \left( {z - 3} \right){}^2 = {R^2}\) và đường thẳng \(d:x - 1 = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z - 4}}{3}\). Điều kiện của R đề (d) không cắt (S) là:

A \(R < \sqrt {\dfrac{{117}}{{14}}} \)

B \(R \le \sqrt {\dfrac{{117}}{{14}}} \)

C \(R < \sqrt {\dfrac{{117}}{{17}}} \)

D \(R \le \sqrt {\dfrac{{117}}{{17}}} \)

Câu 15 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = t\\z = 4\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = t'\\y = 3 - t'\\z = 0\end{array} \right.\) . Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng d và d' là

A \({(x - 2)^2} + {y^2} + {z^2} = 4\)

B \({(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 2\)

C \({(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4\)

D \({(x + 2)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 4\)

Câu 16 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình \({(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4\). Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua trục Oz.

A \({(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4\)

B \({(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4\)

C \({(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4\)

D \({(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 2)^2} = 4\)

Câu 17 : Với mỗi bộ giá trị của các tham số \(a,b,c\) (\(a,b\)không đồng thời bằng 0), xét mặt cầu có phương trình \({x^2} - 2ax + {y^2} - 2by + {(z - c)^2} = 0\). Tìm khẳng định đúng.

A Mọi mặt cầu đó đi qua gốc tọa độ \(O\) .

B Mọi mặt cầu đó tiếp xúc với mặt phẳng \((Oxy)\).

C Mọi mặt cầu đó tiếp xúc với trục \(Oz\).

D Mọi mặt cầu đó tiếp xúc với các trục \(Ox\) và \(Oy\).

Câu 18 : Với mỗi bộ giá trị của các tham số \(a,b,c\) (\(c\) khác 0), xét mặt cầu có phương trình \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {z^2} - 2cz = 0\). Tìm khẳng định đúng.

A Mọi mặt cầu đó đi qua gốc tọa độ \(O\).

B Mọi mặt cầu đó tiếp xúc với mặt phẳng \((Oxy)\).

C Mọi mặt cầu đó tiếp xúc với trục \(Oz\).

D Mọi mặt cầu đó tiếp xúc với các mặt phẳng \((Oyz)\) và \((Ozx)\).

Câu 19 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình \(2x - y + 2z + 3(\sqrt 2 - 1) = 0\). Phương trình mặt cầu nằm trong phần không gian có \(x \ge 0,y \ge 0,z \ge 0\), tiếp xúc với các trục \(Ox,Oy,Oz\) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) là:

A \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2(x + y + z) + 1 = 0\)

B \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2(x + y + z) + \sqrt 2 = 0\)

C \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2(x + y + z) - \sqrt 2 = 0\)

D \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2(x + y + z) - 5 = 0\)

Câu 20 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \((P):2x - y - 2z + 1 = 0\) và ba điểm\(A(1; - 2;0)\), \(B(1;0; - 1)\) và \(C(0;0; - 2)\). Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng (P) và tiếp xúc với ba đường thẳng AB, AC, BC?

A 4 mặt cầu

B 2 mặt cầu

C 1 mặt cầu

D Vô số mặt cầu.

- Các bài toán liên quan đến mặt cầu và đường thẳn...