Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

(S) tiếp xúc với BC khi và chỉ khi hệ phương trình tọa độ giao điểm của (S) và BC có nghiệm kép.

Giải chi tiết:

Phương trình mặt cầu (S) có dạng \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 4)^2} = {R^2}\)

Phương trình tham số của BC là:

\(BC:\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BC} = \left( {1;2;3} \right)\\B\left( {2;3;4} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 + 2t\\z = 4 + 3t\end{array} \right.\)

Tọa độ giao điểm của (S) và BC là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 4)^2} = {R^2}\\x = 2 + t\\y = 3 + 2t\\z = 4 + 3t\end{array} \right.\) (*)

(S) tiếp xúc với BC khi và chỉ khi (*) có nghiệm kép

\( \Leftrightarrow {(1 + t)^2} + {(5 + 2t)^2} + {(8 + 3t)^2} = {R^2}\) có nghiệm kép

\( \Leftrightarrow 14{t^2} + 70t + 90 - {R^2} = 0\) có nghiệm kép

\( \Leftrightarrow \Delta ' = {35^2} - 14(90 - {R^2}) = 0 \Leftrightarrow 14R{}^2 - 35 = 0 \Leftrightarrow {R^2} = \dfrac{{35}}{{14}}\)

\( \Rightarrow (S):{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 4)^2} = \dfrac{{35}}{{14}}\)

Chọn A