Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm \({\rm{A}} \in {\rm{d}}\) và \(B \in d'\) sao cho AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d và d'

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_{d'}}} = 0\end{array} \right.\) 

Lập phương trình mặt cầu đường kính AB

Giải chi tiết:

Lấy \({\rm{A}} \in {\rm{d}} \Rightarrow {\rm{A}}\left( {2a;a;4} \right)\) và \(B \in d' \Rightarrow B\left( {b;3 - b;0} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {b - 2a;3 - a - b; - 4} \right)\)AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d và d’ khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_{d'}}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2.\left( {b - 2a} \right) + 1.\left( {3 - a - b} \right) + 0.\left( { - 4} \right) = 0\\1.\left( {b - 2a} \right) - 1.\left( {3 - a - b} \right) + 0.\left( { - 4} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5a + b + 3 = 0\\ - a + 2b - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.\)

Suy ra \({\rm{A}}\left( {2;1;4} \right)\), \(B\left( {2;1;0} \right)\) và \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;0; - 4} \right)\)

Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng d và d'

Có tâm I là trung điểm của AB và bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2}\).

Ta có \(I\left( {2;1;2} \right)\) và \(R = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{4}{2} = 2\) Vậy ta có \({(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4\)

Chọn C