Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Do tiếp xúc với các trục tọa độ nên tâm mặt cầu có dạng \((p;p;p)\), \(p > 0\)

Tính khoảng cách từ tâm đến mỗi trục tọa độ

khoảng cách từ tâm đến mỗi trục tọa độ bằng khoảng cách từ tâm đến (P).

Giải chi tiết:

Do tiếp xúc với các trục tọa độ nên tâm mặt cầu có dạng \(I(p;p;p)\).

Do mặt cầu nằm trong phần không gian có \(x \ge 0,y \ge 0,z \ge 0\) nên\(p > 0\).

Gọi M là hình chiếu của I trên trục Ox\( \Rightarrow M(p;0;0)\). Khoảng cách từ I đến trục Ox bằng \(MI = p\sqrt 2 \).

Suy ra khoảng cách từ tâm I đến (P) cũng bằng \(p\sqrt 2 \).

Do đó, ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{\left| {2p - p + 2p + 3(\sqrt 2 - 1)} \right|}}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = p\sqrt 2 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {3p + 3(\sqrt 2 - 1)} \right|}}{3} = p\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \left| {p + \sqrt 2 - 1} \right| = p\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}p + \sqrt 2 - 1 = p\sqrt 2 \\p + \sqrt 2 - 1 = - p\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}p\left( {\sqrt 2 - 1} \right) = \sqrt 2 - 1\\p\left( {\sqrt 2 + 1} \right) = \sqrt 2 - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}p = 1\\p = {(\sqrt 2 - 1)^2}\end{array} \right.\end{array}\)

Từ đáp án bài cho ta có \(I(1;1;1)\)

Bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ tâm I đến (P) bằng \(p\sqrt 2 = \sqrt 2 \).

Vậy phương trình mặt cầu là:

\(\begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2(x + y + z) + 1 = 0\end{array}\)

Chọn A