- Các bài toán về khoảng cách - Có lời giải chi tiết

Câu 1 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2\\z = - t\end{array} \right.\). Khoảng cách từ \(A\left( {0; - 1;3} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta \) bằng:

A

\(\sqrt 3 \)

B \(\sqrt {14} \)

C \(\sqrt 6 \)

D \(\sqrt 8 \)

Câu 2 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,3x + 4y + 2z + 4 = 0\) và điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right)\). Tính khoảng cách d từ điểm A đến \(\left( P \right)\).

A \(d = \frac{5}{9}\)

B \(d = \frac{5}{{29}}\)

C \(d = \frac{5}{{\sqrt {29} }}\)

D \(d = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\)

Câu 3 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,3x - 2y + 6z + 14 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {x + y + z} \right) - 22 = 0\). Khoảng cách từ tâm \(I\) của mặt cầu \(\left( S \right)\) tới mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:

A \(1\)

B \(2\)

C \(3\)

D \(4\)

Câu 4 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2;1; - 1} \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x - 2y - z + 3 = 0\). Bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\) là:

A \(2\)

B \(\frac{2}{3}\)

C \(\frac{4}{3}\)

D \(\frac{2}{9}\)

Câu 5 : Cho hai đường thẳng \(d:\,\,\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 3}}{2}\) và \({d_2}:\,\,\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{2}\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\).

A \(4\sqrt 2 \)

B \(\frac{{4\sqrt 2 }}{3}\)

C \(\frac{4}{3}\)

D \(\frac{{4\sqrt 3 }}{2}\)

Câu 6 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng song song \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) lần lượt có phương trình \(2x - y + z = 0\) và \(2x - y + z - 7 = 0\). Khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) bằng:

A \(7\)

B \(6\sqrt 7 \)

C \(7\sqrt 6 \)

D \(\frac{7}{{\sqrt 6 }}\)

Câu 7 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm \(A\left( {1;1;3} \right);\,\,B\left( { - 1;3;2} \right);\,\,C\left( { - 1;2;3} \right)\). Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.

A \(\sqrt 3 \)

B \(3\)

C \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

D \(\frac{3}{2}\)

Câu 8 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1; - 1;0} \right);\,\,B\left( {1;0; - 2} \right);\,\,C\left( {3; - 1; - 1} \right)\). Tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(BC?\)

A \(\frac{{\sqrt {21} }}{6}\)

B \(\frac{{\sqrt {14} }}{2}\)

C \(\frac{{\sqrt {21} }}{2}\)

D \(\frac{{\sqrt 7 }}{2}\)

Câu 9 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,3x + y - 3z + 6 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 25\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn. Đường tròn giao tuyến này có bán kính \(r\) bằng :

A \(r = 6\)

B \(r = 5\)

C \(r = \sqrt 6 \)

D \(r = \sqrt 5 \)

Câu 10 : Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,3x - 2y - z + 5 = 0\) và đường thẳng \(\Delta :\,\,\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 7}}{1} = \frac{{z - 3}}{4}\). Gọi \(Q\) là mặt phẳng chứa \(\Delta \) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

A \(\frac{9}{{14}}\)

B \(\frac{9}{{\sqrt {14} }}\)

C \(\frac{3}{{14}}\)

D \(\frac{3}{{\sqrt {14} }}\)

Câu 11 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\,\,\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 4}} = \frac{{z - 1}}{{ - 5}}\) và \({\Delta _2}:\,\,\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{2}\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) bằng:

A \(\sqrt 5 \)

B \(3\)

C \(\frac{{45}}{{\sqrt {14} }}\)

D \(\frac{{\sqrt 5 }}{5}\)

Câu 12 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm \(A\left( {1;1;1} \right);\,\,B\left( {2; - 1;3} \right);\,\,C\left( { - 1; - 1; - 2} \right)\) và \(D\left( { - 3;5; - 3} \right)\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\).

A \(\frac{{\sqrt {15} }}{{\sqrt {113} }}\)

B \(\frac{{20}}{{\sqrt {113} }}\)

C \(\frac{{10}}{{\sqrt {113} }}\)

D \(\frac{5}{{\sqrt {113} }}\)

Câu 13 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2y - 2z - 1 = 0\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x + 2y - 2z + 15 = 0\). Khoảng cách ngắn nhất giữa điểm \(M\) trên \(\left( S \right)\) và điểm \(N\) trên \(\left( P \right)\) là:

A \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\)

B \(\frac{{3\sqrt 2 }}{3}\)

C \(\frac{3}{2}\)

D \(\frac{2}{3}\)

Câu 14 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,\left( {m - 1} \right)x + y + mz - 1 = 0\) và điểm \(A\left( {1;1;2} \right)\) . Với giá trị nào của \(m\) thì khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) là lớn nhất.

A \(5\)

B \(3\)

C \(2\)

D \(4\)

Câu 15 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{3}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + 2y - 2z + 3 = 0\). Tìm tọa độ điểm \(M\) trên \(d\) có cao độ dương sao cho khoảng cách từ \(M\) đến \(\left( P \right)\) bằng 3.

A \(M\left( {10;21;32} \right)\)

B \(M\left( {5;11;17} \right)\)

C \(M\left( {1;3;5} \right)\)

D \(M\left( {7;15;23} \right)\)

Câu 16 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\,\,\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{3};\)\(\,\,{d_2} = \frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 3}}\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \({d_1}\) song song với \({d_2}\). Khoảng cách từ \(M\left( {1;1;1} \right)\) đến \(\left( P \right)\) là:

A \(\sqrt 3 \)

B \(\frac{5}{{\sqrt 3 }}\)

C \(4\)

D \(1\)

Câu 17 : Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 0\\z = - t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in R} \right)\) và các điểm \(A\left( {2;1; - 1} \right);\,\,B\left( { - 1;2;0} \right)\). Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(B\), cắt đường thẳng \(\Delta \) và có khoảng cách từ \(A\) tới \(d\) lớn nhất. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A Đường thẳng \(d\) vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) .

B Đường thẳng \(d\) vuông góc với trục \(Oz\).

C Đường thẳng \(d\) vuông góc với trục \(Ox\).

D Đường thẳng \(d\) vuông góc với trục \(Oy\).

Câu 18 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A\left( {a;0;0} \right);\,\,B\left( {0;b;0} \right);\,\,C\left( {0;0;c} \right)\) với \(a;b;c\) dương thảo mãn \(a + b + c = 4\). Biết rằng khi \(a;b;c\) thay đổi thì tâm \(I\) mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) cố định. Tính khoảng cách \(d\) từ điểm \(M\left( {1;1; - 1} \right)\) tới mặt phẳng \(\left( P \right)\).

A \(d = \sqrt 3 \)

B \(d = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

C \(d = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

D \(d = 0\)

Câu 19 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm \(O\left( {0;0;0} \right);\,\,A\left( {1;0;0} \right);\,\,B\left( {0;1;0} \right)\) và \(C\left( {0;0;1} \right)\). Hỏi có bao nhiêu điểm cách đều các mặt phẳng \(\left( {OAB} \right);\,\,\left( {OBC} \right);\,\,\left( {OCA} \right);\,\,\left( {ABC} \right)\) ?

A 1

B 4

C 5

D 8

Câu 20 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,\left( {{m^2} + m + 1} \right)x + 2\left( {{m^2} - 1} \right)y + 2\left( {m + 2} \right)z + {m^2} + m + 1 = 0\) luôn chứa đường thẳng \(\Delta \) cố định khi \(m\) thay đổi. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến \(\Delta \).

A \(\frac{1}{{\sqrt 5 }}\)

B \(\frac{1}{{\sqrt 6 }}\)

C \(\frac{1}{2}\)

D \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\)

- Các bài toán về khoảng cách - Có lời giải chi ti...