Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A\left(...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Nhận xét \(OABC\) là tứ diện vuông, từ đó suy ra tọa độ điểm \(I\).

+) Xác định biểu thức liên hệ giữa các tọa độ của điểm \(I\), suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\).

+) Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,Ax + By + Cz + D = 0\) là \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

Giải chi tiết:

Vì \(A\left( {a;0;0} \right);\,\,B\left( {0;b;0} \right);\,\,C\left( {0;0;c} \right)\) với \(a;b;c\) dương \( \Rightarrow OABC\) là tam diện vuông.

Gọi \(I\) là tâm mặt ngoại tiếp tứ diện \(OABC \Rightarrow I\left( {\frac{a}{2};\frac{b}{2};\frac{c}{2}} \right)\)

Theo giả thiết \(a + b + c = 4 \Rightarrow 2.\frac{a}{2} + 2.\frac{b}{2} + 2.\frac{c}{2} = 4 \Leftrightarrow 2{x_I} + 2{y_I} + 2{z_I} = 4 \Leftrightarrow {x_I} + {y_I} + {z_I} = 2\).

\( \Rightarrow \) Tâm \(I\) nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y + z - 2 = 0\)

Vậy \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 1 - 1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) .

Chọn C.