Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi \(P\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

+) Viết các phương trình mặt phẳng \(\left( {OAB} \right);\,\,\left( {OBC} \right);\,\,\left( {OCA} \right);\,\,\left( {ABC} \right)\) và tính khoảng cách từ \(P\) đến các mặt phẳng đó.

+) Giải các phương trình tìm tọa độ điểm \(P\).

Giải chi tiết:

Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right):\,\,x + y + z = 1\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {OAB} \right) \equiv \left( {Oxy} \right)\\\left( {OBC} \right) \equiv \left( {Oyz} \right)\\\left( {OAC} \right) \equiv \left( {Oxz} \right)\end{array} \right.\)

Gọi \(P\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có \(d\left( {P;\left( {OAB} \right)} \right) = \left| c \right|;\,\,d\left( {P;\left( {OBC} \right)} \right) = \left| a \right|;\,\,d\left( {P;\left( {OAC} \right)} \right) = \left| b \right|;\,\,d\left( {P;\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {a + b + c - 1} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| a \right| = \left| b \right| = \left| c \right| = \frac{{\left| {a + b + c - 1} \right|}}{{\sqrt 3 }}\\ \Rightarrow \left| a \right| = \left| b \right| = \left| c \right| \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b = c\\a = b =  - c\\a =  - b = c\\ - a = b = c\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: \(a = b = c \Rightarrow \frac{{\left| {3a - 1} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \left| a \right| \Leftrightarrow {\left( {3a - 1} \right)^2} = 3{a^2} \Rightarrow \) có 2 giá trị của a thỏa mãn, do đó có hai điểm \(P\) thỏa mãn.

Tương tự 3 trường hợp còn lại, mỗi trường hợp có hai điểm thỏa mãn.

Vậy có tất cả 8 điểm thỏa mãn.

Chọn D.