Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tham số hóa tọa độ điểm \(M\).

+) Tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(d\) và tìm giá trị của \(t\) để khoảng cách đó là lớn nhất.

Giải chi tiết:

Giả sử \(d \cap \Delta  = M \Rightarrow M \in \Delta  \Rightarrow M\left( {1 + t;0; - t} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {BM}  = \left( {t + 2; - 2; - t} \right)\) là một VTCP của đường thẳng \(d\).

\(d\left( {A;d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BM} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {BM} } \right|}} = \sqrt {\frac{{{{\left( {2 - t} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2t} \right)}^2} + {{\left( {4 - t} \right)}^2}}}{{{{\left( {t + 2} \right)}^2} + 4 + {t^2}}}}  = \sqrt {\frac{{6{t^2} - 20t + 24}}{{2{t^2} + 4t + 8}}} \)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{6{t^2} - 20t + 24}}{{2{t^2} + 4t + 8}};\,\,f'\left( t \right) = \frac{{64{t^2} - 256}}{{2{t^2} + 4t + 8}} = 0 \Leftrightarrow t =  \pm 2\)

Lập BBT ta có \(f\left( t \right)\) đạt giá trị lớn nhất \( \Leftrightarrow t =  - 2 \Rightarrow \overrightarrow {BM}  = \left( {0; - 2;2} \right)\).

Vậy đường thẳng \(d \bot Ox\).

Chọn C.