Bài tập vận dụng Vấn đề 3: Quan hệ song song - Có lời giải chi tiết

Câu 1 : Chóp SABCD. ABCD là hình bình hành. \(M\in BC,\,N\in SC,\,P\in SD,\,Q\in AD\) để \(MN\parallel SB,\,QM\parallel PN\parallel CD.\)a) Chứng minh \(PQ\parallel SA\)b) Nối \(MN\cap PQ=I.\) Chứng minh tứ giác SIMB là hình bình hành.

Câu 2 : Hình lập phương ABCDA’B’C’D’. M, N, O là trung điểm của A’B’, DD’, D’C. Chứng minh \(MN\parallel B'O\)

Câu 3 : Lăng trụ ABC.A’B’C’. M, N, O là trung điểm của A’C’, BC, A’B’. Chứng minh \(MN\parallel BO\)

Câu 4 : Lăng trụ ABCA’B’C’. \({{G}_{1}},\,{{G}_{2}}\) là trọng tâm tam giác B’BC và tam giác B’BA. Chứng minh \({{G}_{1}}{{G}_{2}}\parallel A'C'\)

Câu 5 : Chóp SABCD. ABCD là hình bình hành. Tìm giao tuyến của:a) \(\left( SAB \right)\) và \(\left( SCD \right)\)b) \(\left( SAD \right)\) và \(\left( SBC \right)\)

Câu 6 : Chóp SABCD. ABCD là hình bình hành. M, N là trung điểm của AB, SC.a) Chứng minh \(MN\parallel \left( SAD \right)\)b) \({{G}_{1}},\,{{G}_{2}}\) là trọng tâm tam giác ABD và SAD. Chứng minh \({{G}_{1}}{{G}_{2}}//\left( SAB \right)\)

Câu 7 : Chóp SABCD. ABCD là hình bình hành. M, N, P, Q là trung điểm của AB, CD, SA, BC. Chứng minh:a) \(SC\parallel \left( MNP \right)\)b) \(SQ\parallel \left( MNP \right)\)

Câu 8 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. M, N là trung điểm của B’C’, CD. Chứng minh \(MN\parallel \left( DA'C' \right)\)

Câu 9 : Lăng trụ ABC.A’B’C’. M, N là trung điểm của A’C’, AB. Chứng minh \(MN\parallel \left( BCC'B' \right)\)

Câu 10 : Lăng trụ ABC.A’B’C’. I là trung điểm của B’C’. Chứng minh \(AB'\parallel \left( A'IC \right)\)

Câu 11 : Tứ diện ABCD. H, K di động trên AD, BC sao cho \(\frac{HA}{HD}=\frac{KB}{KC}.\) Chứng minh HK song song với một mặt phẳng cố định.

Câu 12 : Chóp SABCD. ABCD là hình bình hành. H là trung điểm của SB. \(K\in \left( ABCD \right)\) và cách đều AB, CD. Chứng minh \(HK\parallel \left( SCD \right)\)

Câu 13 : Chóp SABCD. ABCD là hình bình hành tâm O. M, N, P, Q, R là trung điểm của SA, SD, AB, ON, SB. Chứng minha) \(\left( MON \right)\parallel \left( SBC \right)\)b) \(PQ\parallel \left( SBC \right)\)c) \(\left( MOR \right)\parallel \left( SBC \right)\)

Câu 14 : Chóp SABC. \({{G}_{1}},\,{{G}_{2}},\,{{G}_{3}}\) là trọng tâm các tam giác \(SAB;\,\,\,SBC;\,\,\,SCA.\) Chứng minh \(\left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}} \right)\parallel \left( ABC \right)\)

Câu 15 : Chóp SABC. SA = a. \(SA\bot BC.\) Tam giác ABC đều. AB = a. H là trung điểm của BC. \(M\in AH\) để AM = x \(\left( 0<x<\frac{a\sqrt{3}}{2} \right).\) Mặt phẳng (P) đi qua M và song song với SA, BC. Dựng (P). Tìm thiết diện của mp (P) với hình chóp và tính diện tích thiết diện.

Câu 16 : Chóp SABCD. SA = a. ABCD là hình chữ nhật. AB = 2a, BC = a, \(\widehat{SAB}={{90}^{o}}.\,\,M\in AD\) để AM = x (0 < x < a). Mặt phẳng (P) qua M và song song với mặt phẳng (SAB). Dựng (P). Tìm thiết diện của mp (P) với hình chóp và tính diện tích thiết diện.

Câu 17 : Chóp SABCD. \(M\in AB,\,\,N\in CD.\) (P) đi qua MN và song song SA. Thiết diện của mp (P) với chóp SABCD là:

A Hình thang.

B Tam giác.

C Ngũ giác

D Tứ giác

Câu 18 : Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’. \(M\in AB,\,\,N\in DD'.\) Thiết diện của (BMN) với hình hộp là:

A Hình thoi

B Hình chữ nhật

C Hình bình hành.

D Hình thang

Câu 19 : Chóp SABCD. I, H là trung điểm của SA, SB. \(K\in SC\) để CK = 3KS, \(KH\cap BC=E,\,KI\cap AC=F\) Chọn khẳng định sai:

A \(EF\parallel AB\)

B \(EF\parallel IH\)

C \(\frac{IH}{AB}=\frac{1}{2}\)

D \(EF\parallel \left( ABC \right)\)

Câu 20 : Cho tứ diện ABCD. \({{G}_{1}},\,{{G}_{2}},\,{{G}_{3}}\) là trọng tâm các tam giác \(ABC,\,ACD,\,ADB.\) Diện tích thiết diện tạo bởi \(\left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}} \right)\) bằng k lần diện tích tam giác BCD. Khi đó k là

A \(\frac{4}{9}\)

B \(\frac{2}{3}\)

C \(\frac{1}{3}\)

D \(\frac{1}{4}\)

Câu 21 : Chóp S.ABCD, ABCD là hình bình hành tâm O. M, N, P, Q, R là trung điểm SA, SD, AB, ON, SB. Chọn mệnh đề sai:

A \(PQ\parallel \left( SBC \right)\)

B \(\left( MNO \right)\parallel \left( SBC \right)\)

C \(\left( MOR \right)\parallel \left( SCD \right)\)

D \(PR\parallel \left( SCD \right)\)

Câu 22 : Chóp \(S.ABCD\). \(SB = a\). \(\Delta ABC\) vuông ở \(A\). \(AB = a\), \(\widehat{B}={{60}^{o}}.\) \(O\) là trung điểm của \(BC\). \(SB\bot OA.\,M\in AB\) để \(BM = x (0 < x < a)\). \((P)\) qua \(M\) và song song với \(SB, OA\). Tìm \(x\) để diện tích thiết diện của \((P)\) với chóp \(S.ABC\) là lớn nhất.

A \(x=\frac{2a}{5}\)

B \(x=\frac{3a}{2}\)

C \(x=\frac{a}{2}\)

D \(x=\frac{2a}{3}\)

Câu 23 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. M là trung điểm của AA’. \(N\in BB'\) sao cho \(\frac{B'N}{BB'}=\frac{1}{4},\,P\in CC'\) để \(\frac{C'P}{CC'}=\frac{1}{3}.\) Mặt phẳng (MNP) cắt DD’ tại Q. Tỉ số \(\frac{D'Q}{DD'}\) là:

A \(\frac{5}{12}\)

B \(\frac{7}{12}\)

C \(\frac{1}{2}\)

D \(\frac{1}{5}\)

Câu 24 : Chóp S.ABCD. ABCD là hình bình hành. M, N là trung điểm của SA, SC. \(\left( DMN \right)\) cắt SB tại P. Tỉ số \(\frac{SB}{SP}\) là

A 5

B 4

C 3

D 2

Câu 25 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. (P) cắt AA’, BB’, CC’, DD’ tại M, N, P, Q. MNPQ là hình gì?

A Hình vuông.

B Hình bình hành.

C Hình thang cân.

D Hình thoi.

Câu 26 : Chóp SABCD. SA = a, \(SA\bot BC.\) ABCD là hình vuông. \(AB=a.\,M\in AB\) để AM = x (0 < x < a). (P) qua M và song song với SA, BC. Diện tích thiết diện của (P) với chóp S.ABCD là

A \(\frac{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}{2}\)

B \(\frac{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}{2}\)

C \(\frac{2{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}{2}\)

D \(\frac{3{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}{2}\)

Câu 27 : Cho tứ diện ABCD. Hãy xác định thiết diện của hình tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau:a) Mặt phẳng (P) đi qua trọng tâm G của tứ diện, qua điểm E thuộc cạnh BC và song song với AD.b) Mặt phẳng (P) đi qua trọng tâm G của tứ diện và song song với BC và AD.

Câu 28 : Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC, (P) là mặt phẳng qua AM và song song với BD.a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp (P).b) Gọi E, F lần lượt là giao điểm của (P) với cạnh SB và SD. Hãy tìm tỉ số diện tích tam giác SME với tam giác SBC và tỉ số diện tích của tam giác SMF với tam giác SCD.c) Gọi K là giao điểm của ME với CB, J là giao điểm của MF và CD. Hãy chứng minh ba điểm K, A, J nằm trên một đường thẳng song song với EF và tìm tỉ số \(\frac{EF}{KJ}.\)

Câu 29 : Cho tứ diện ABCD. Trọng tâm G của tam giác ABD, điểm I nằm trên cạnh BC sao cho BI = 2IC. Chứng minh rằng IG song song với mặt phẳng (ACD).

Câu 30 : Cho hình chóp SABC. Các điểm I, J, K lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB, SBC, SCA.a) Chứng minh rằng (IJK) song song với (ABC).b) Tìm tập hợp các điểm M nằm trong hình chóp S.ABC sao cho KM song song với mp (ABC).

Câu 31 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Điểm M thuộc cạnh AD, điểm N thuộc cạnh D’C’ sao cho \(\frac{AM}{MD}=\frac{D'N}{NC'}.\)a) Chứng minh rằng MN song song với (C’BD).b) Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bời mp (P) qua MN và song song với mp (C’BD).

Câu 32 : Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang \(\left( AD\parallel BC,\,AD>BC \right).\) Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của AB, CD, SA.a) Chứng minh rằng: \(MN\parallel \left( SBC \right);\,\left( MEN \right)\parallel \left( SBC \right).\)b) Trong tam giác SAD vẽ \(EF\parallel AD\,\left( F\in SD \right).\) Chứng minh rằng F là giao điểm của mặt phẳng (MNE) với SD. Từ đó suy ra thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp (MNE) là hình gì?c) Chứng minh rằng \(SC\parallel \left( MNE \right).\) Đường thẳng AF có song song với mặt phẳng (SBC) hay không?d) Cho M, N là hai điểm cố định lần lượt nằm trên cạnh AB, CD sao cho \(MN\parallel AD\) và E, F là hai điểm di động lần lượt trên các cạnh SA, SD sao cho \(EF\parallel AD.\) Gọi I là giao điểm của ME và NF thì I di động trên đường nào?

Câu 33 : Cho hình hộp \(ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}.\)a) Chứng ming rằng đường chéo B₁D cắt mp \(\left( {{A}_{1}}B{{C}_{1}} \right)\) tại G sao cho \({{B}_{1}}G=\frac{1}{2}GD\) và G là trọng tâm của tam giác \({{A}_{1}}B{{C}_{1}}.\)b) Chứng ming rằng \(\left( {{D}_{1}}AC \right)\parallel \left( B{{A}_{1}}{{C}_{1}} \right)\) và trọng tâm G’ của tam giác \({{D}_{1}}AC\) cùng nằm trên \({{B}_{1}}D\) và \({{B}_{1}}G'=\frac{2}{3}{{B}_{1}}D.\)c) Gọi P, Q, R lần lượt là các điểm đối xứng của \({{B}_{1}}\) qua A, \({{D}_{1}}\) và C. Chứng minh rằng \(\left( PQR \right)\parallel \left( B{{A}_{1}}{{C}_{1}} \right)\)d) Chứng minh rằng D là trọng tâm của tứ diện \({{B}_{1}}PQR.\)

Câu 34 : Cho lăng trụ ABC.A’B’C’.1) Gọi I, K, G lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, A’B’C’, ACC’. Chứng minh rằng các mặt phẳng: \(\left( IGK \right)\parallel \left( BB'C'C \right);\,\,\left( A'KG \right)\parallel \left( AIB' \right).\)2) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BB’, CC’. Một đường thẳng \({{\Delta }_{1}}\) đi qua trọng tâm I của tam giác ABC, cắt các đường thẳng AB’ và MN lần lượt ở P và Q. Chứng minh rằng: IQ = 4IP.

Câu 35 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.a) Chứng minh hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song nhau.b) Chứng minh đường chéo AC’ đi qua các trọng tâm \({{G}_{1}},\,{{G}_{2}}\) của tam giác BDA’ và B’D’C. Chứng minh \({{G}_{1}}{{G}_{2}}\) chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau.c) Xác định thiết diện cắt bởi mp \(\left( A'B'{{G}_{2}} \right).\) Thiết diện là hình gì?

Câu 36 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy lớn là AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB.a) Chứng minh \(MN\parallel CD.\)b) Gọi P là giao điểm của SC và mp (AND). Hai đường thẳng AN và DP cắt nhau tại I. Chứng minh \(SI\parallel AB\) và \(SA\parallel IB.\)

Câu 37 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC, SD.a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAB) và (SCD); (SAD) và (SBC).b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABH) và (CDF).

Câu 38 : Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’. M thuộc A’B’, N thuộc DD’ sao cho A’M = DN. Chứng minh \(MN\parallel \left( A'BD \right)\) bằng phương pháp trực tiếp và gián tiếp.

Câu 39 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD.a) Chứng minh MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD).b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB và SC đều song song với mp (MNP).c) Gọi \({{G}_{1}}\) và \({{G}_{2}}\) lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và SBC. Chứng minh \({{G}_{1}}{{G}_{2}}\) song song với mặt phẳng (SAB).

Câu 40 : Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) bất kì song song với AC và BD đi qua điểm P trên BC, cắt cạnh AB, AD, CD lần lượt tại Q, R, S.a) Chứng minh PQRS là hình bình hành.b) Xác định vị trí của Q để PQRS là hình thoi.

Câu 41 : Cho hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo AC, BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho \(\frac{AM}{AC}=\frac{BN}{BF}.\) Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M và N lần lượt cắt AD, AF tại M’ và N’.a) Chứng minh rằng mp (CBE) song song mp (ADF).b) Chứng minh rằng mp (MNM’) song song mp (DEF) và \(MN\parallel mp\left( DEF \right).\)

Bài tập vận dụng Vấn đề 3: Quan hệ song song - Có...