Lý thuyết Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương lớp 9 là một trong những kiến thức nền quan trọng thuộc chương I nghiên cứu về Căn bậc hai và căn bậc ba. Cunghocvui xin gửi tới các bạn bài lý thuyết liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương và các dạng bài tập chi tiết và đầy đủ nhất. Hy vọng bài viết về liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương sẽ hữu ích với các bạn!

A. Một số kiến thức cần nhớ về liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

1. Các định lý về liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương lớp 9

Cho hai số a, b bất kỳ với điều kiện của a, b là lớn hơn hoặc bằng 0 thì ta có được định lý sau: 

\(\sqrt{ab}\)= \(\sqrt{a}\).\(\sqrt{b}\)

Một số lưu ý:

+ Định lý trên chỉ được sử dụng khi hai số a, b được xác định là không âm. Nếu một trong hai số mà nhỏ hơn 0 thì đẳng thức trên không được triển khai.

+ Định lý trên không những áp dụng với hai số không âm mà còn được áp dụng với hai biểu thức không âm, ta có: 

\(\sqrt{AB}\)= \(\sqrt{A}\).\(\sqrt{B}\)

2. Áp dụng vào một số quy tắc khai phương

a, Áp dụng vào quy tắc khai phương một tích

- Với điều kiện là các thừa số lớn hơn hoặc bằng 0 (không âm), muốn khai phương một tích ta khai phương từng thừa số có ở trong tích rồi nhân các kết quả vừa khai phương được lại với nhau.

- Mở rộng: Với một tích bao gồm n thừa số với điều kiện các thừa số lớn hơn hoặc bằng 0 ta có:

\(\sqrt{n_{1}.n_{2}...n_{n}}=\sqrt{n_{1}}.\sqrt{n_{2}}...\sqrt{n_{n}}\)

b, Áp dụng vào quy tắc nhân các căn bậc hai

- Với điều kiện là các thừa số căn bậc hai lớn hơn hoặc bằng không (không âm), muốn tìm tích các căn bậc hai ta có thể nhân các biểu thức dưới căn lại với nhau rồi sau đó khai phương kết quả.

- Mở rộng: Với một tích bao gồm n thừa số với điều kiện các thừa số lớn hơn hoặc bằng 0 ta có:

\(\sqrt{n_{1}}.\sqrt{n_{2}}...\sqrt{n_{n}}=\sqrt{n_{1}.n_{2}...n_{n}}\)

B. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương bài tập

Bài 1: Thực hiện tính một số các phép tính sau 

\(a, \sqrt{2}.\sqrt{8}\)

\(b, \sqrt{7}.\sqrt{63}\)

\(c, 2\sqrt{3}.(2\sqrt{6}-\sqrt{3}+1)\)

\(d,(\)\(\sqrt{12}\) + \(\sqrt{27}\) - \(\sqrt{3}\)). \(\sqrt{3}\)

\(e,(\)\(2\sqrt{5}+2)\)(\(2\sqrt{5}-2)\)

Hướng dẫn giải bài tập: 

\(a, \sqrt{2}.\sqrt{8}\) = \(\sqrt{2.8}\) = \(\sqrt{16}\) = 4

\(b, \sqrt{7}.\sqrt{63}\) = \(\sqrt{7.7.9}\) = \(\sqrt{7^2.3^2}\) = \(7.3\) = 21

\(c, 2\sqrt{3}.(2\sqrt{6}-\sqrt{3}+1)\) = \(4\sqrt{3.6}\) - \(2\sqrt{3.3}\) + \(2\sqrt{3}\) = \(4.3\sqrt{2}\) - \(2.3\) + \(2\sqrt{3}\) = \(12\sqrt{2}\) - 6 + \(2\sqrt{3}\)

\(d,(\)\(\sqrt{12}\) + \(\sqrt{27}\) - \(\sqrt{3}\)). \(\sqrt{3}\) = \(\sqrt{12.3}\) + \(\sqrt{27.3}\) - \(\sqrt{3.3}\) = \(\sqrt{36}\) + \(\sqrt{81}\) - \(\sqrt{9}\) = \(6+9-3\) = \(12\)

\(e,(\)\(2\sqrt{5}+2)\)(\(2\sqrt{5}-2)\) = \((2\sqrt{5})^2\) - \((\sqrt{2})^2\) = \(4.5-2\) = \(20-2\) = \(18\)

Bài 2: Xác định x, y, z để thỏa mãn với phương trình sau:

\(\sqrt{x-y+z}\) = \(\sqrt{x}\) - \(\sqrt{y}\) + \(\sqrt{z}\)

Hướng dẫn giải bài tập:

Với điều kiện của ba số x, y và z là những thừa số lớn hơn hoặc bằng 0 và x - y + z \(\geq \) 0

\(\sqrt{x-y+z}\) = \(\sqrt{x}\) - \(\sqrt{y}\) + \(\sqrt{z}\) <=> \(\sqrt{x-y+z}\) + \(\sqrt{y}\) = \(\sqrt{x}\) + \(\sqrt{z}\) 

Bình phương đồng thời hai vế ta được:

\(x-y+z+y\) + \(2\sqrt{(x-y+z)y}\) = \(x+z\) + \(2\sqrt{xz}\)

<=> \(2\sqrt{(x-y+z)y}\) = \(2\sqrt{xz}\) 

Bình phương đồng thời hai vế ta được:

\((x-y+z)y\) = \(xz\)

<=> \((x-y+z)y\) - \(xz\) = 0

<=> \(xy\) - \(y^2\) + \(yz\) - \(xz\) = 0

<=> \(y(x-y)\) - \(z(x-y)\) = 0

<=> \((x-y)\). \((y-z)\) = 0

<=>  \(x=y\) hoặc \(y=z\)

Kết hợp với điều kiện của x, y, z ta có thể kết luận được là với ba số không âm x, y, z nếu \(x=y\) hoặc \(y=z\) thì sẽ thỏa mãn được biểu thức \(\sqrt{x-y+z}\) = \(\sqrt{x}\) - \(\sqrt{y}\) + \(\sqrt{z}\)

Bài 3: Cho hai số a,b bất kỳ với điều kiện là a, b là một số không âm (luôn lớn hơn hơn hoặc bằng 0). Hãy sáng tỏ đẳng thức sau: 

\(a,\sqrt{a+b}\) \(\leq \) \(\sqrt{a}\) + \(\sqrt{b}\)

\(b,\sqrt{a-b}\) \(\geq \) \(\sqrt{a}\) - \(\sqrt{b}\)

Hướng dẫn giải bài tập: 

\(a,\sqrt{a+b}\) \(\leq \) \(\sqrt{a}\) + \(\sqrt{b}\)

Vì a, b là luôn là hai số lớn hơn hoặc bằng 0 nên ta dùng phương pháp bình phương hai vế ta được:

\(a+b\) \(\leq \) \(a+b\) + \(2\sqrt{ab}\)

<=> 0 \(\leq \) \(2\sqrt{ab}\) (luôn đúng vì kết hợp với điều kiện a, b là hai số không âm)

Đẳng thức được xảy ra khi hoặc \(a=0\) hoặc \(b=0\) (điều phải chứng minh)

\(b,\sqrt{a-b}\) \(\geq \) \(\sqrt{a}\) - \(\sqrt{b}\) kết hợp thêm điều kiện \(a\geq b\)

<=> \(\sqrt{a-b}\) + \(\sqrt{b}\) \(\geq \) \(\sqrt{a}\)

Bình phương đồng thời hai vế ta được:

\(a - b +b\) + \(2\sqrt{(a-b)b}\) \(\geq \) \(a\)

<=> \(2\sqrt{(a-b)b}\) \(\geq \) 0 (luôn đúng)

Đẳng thức được xảy ra khi hoặc \(a=b\) hoặc \(b=0\) (điều phải chứng minh)

Bài 4: Thực hiện thu gọn các biểu thức sau: 

\(a, A=\dfrac{x-y+3\sqrt{x}+3\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}+3}\)

\(b, B= \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{8}+4}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}\)

\(c,C=(\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}\) + \(\dfrac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}\) + \(\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\)) : (1 - \(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\))

\(d,D=(\dfrac{2}{\sqrt{x}-2}\) + \(\dfrac{\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}-x}\)) : (\(\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}\) - \(\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}\))

Hướng dẫn giải bài tập:

\(a, A=\dfrac{x-y+3\sqrt{x}+3\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}+3}\) = \(\dfrac{(\sqrt{x}-\sqrt{y}).(\sqrt{x}+\sqrt{y})+3(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}-\sqrt{y}+3}\)

Điều kiện để biểu thức xác định \(x\geq 0\), \(y\geq 0\), 

= \(\dfrac{(\sqrt{x}-\sqrt{y}+3).(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}-\sqrt{y}+3}\) = \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\)

\(b, B= \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{8}+4}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}\) = \(\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{8}+\sqrt{4}+\sqrt{4}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}\)

= \(\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{8}+\sqrt{4}+\sqrt{4}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}\) 

= \(\dfrac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4})+(\sqrt{2}.\sqrt{2}+\sqrt{2}.\sqrt{3}+\sqrt{2}.\sqrt{4})}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}\)

= \(\dfrac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4})+(\sqrt{2}.\sqrt{2}+\sqrt{2}.\sqrt{3}+\sqrt{2}.\sqrt{4})}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}\) 

= \(\dfrac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4})+\sqrt{2}.(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4})}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}\)

= 1 + \(\sqrt{2}\)

\(c,C=(\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}\) + \(\dfrac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}\) + \(\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\)) : (1 - \(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\))

Điều kiện xác định của biểu thức: \(x\geq 0\), \(x\neq 4\) và \(x\neq 9\)

\(C=(\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}\) + \(\dfrac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}\) + \(\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\)) : (1 - \(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\))

= \((\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}\) - \(\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}\) + \(\dfrac{\sqrt{x}+2}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}-2)}\)) : (\(\dfrac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\))

= \(\dfrac{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)-(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)+\sqrt{x}+2}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}-2)}\) : \(\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\)

= \(\dfrac{x-9-(x-4)+\sqrt{x}+2}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}-2)}\) : \(\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\)

=  \(\dfrac{x-9-x+4)+\sqrt{x}+2}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}-2)}\) : \(\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\)

=  \(\dfrac{\sqrt{x}-3}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}-2)}\). \((\sqrt{x}+1)\)

= \(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}\)

\(d,D=(\dfrac{2}{\sqrt{x}-2}\) + \(\dfrac{\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}-x}\)) : (\(\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}\) - \(\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}\))

Điều kiện xác định của biểu thức: \(x> 0\) và \(x\neq 4\)

\(D=(\dfrac{2}{\sqrt{x}-2}\) + \(\dfrac{\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}-x}\)) : (\(\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}\) - \(\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}\))

= \((\dfrac{2}{\sqrt{x}-2}\) - \(\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}\)) : (\(\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}\) - \(\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}\))

= \(\dfrac{2\sqrt{x}-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}\) : \(\dfrac{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}+2)-\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}\)

= \(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}\) : \(\dfrac{x-4-x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}\)

= \(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}\). \(\dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{\sqrt{x}-4}\)

= \(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-4}\)

Bài 5: Tính các biểu thức khi cho một giá trị x:

\(a, A=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-4}\) khi biết x = \(4-2\sqrt{3}\)

Hướng dân giải bài tập:

Phân tích x = \(4-2\sqrt{3}\) = \((\sqrt{3}-1)^2\)

Thay vào biểu thức A ta có:

\(A=\dfrac{\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}+1}{\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}-4}\) = \(\dfrac{\sqrt{3}+1-1}{\sqrt{3}-1-4}\) 

= \(\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-5}\) = \(\dfrac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+5)}{3-25}\) = \(\dfrac{3+5\sqrt{3}}{-22}\) = \(\dfrac{-3-5\sqrt{3}}{22}\)

\(b, B=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}\) khi biết x = \(\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\)

Phân tích x = \(\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\) = \(\dfrac{6-2\sqrt{5}}{4}\) = \((\dfrac{\sqrt{5}-1}{2})^2\)

Thay vào biểu thức B ta được:

B = \(\dfrac{(\sqrt{\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}})^2+1}{(\sqrt{\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}})^2-2}\) = (\(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\) +1) : (\(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\) - 2)

= \(\dfrac{\sqrt{5}-1+2}{2}\) : \(\dfrac{\sqrt{5}-1-4}{2}\) =  \(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\) : \(\dfrac{\sqrt{5}-5}{2}\) =  \(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\). \(\dfrac{2}{\sqrt{5}-5}\) 

= \(\dfrac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-5}\) = \(\dfrac{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}+5)}{(\sqrt{5}-5)(\sqrt{5}+5)}\) = \(\dfrac{5+5\sqrt{5}+\sqrt{5}+5}{5-25}\) = \(\dfrac{-5-3\sqrt{5}}{20}\)

Bài 6: Xác định max, min của một số biểu thức sau:

a, Xác định giá trị lớn nhất của biểu thức sau \(A=\dfrac{3}{\sqrt{x}+2}\)

Để tồn tại biểu thức: \(x\geq 0\) và \(x\neq 4\)

Đi từ điều kiện xác định của bài:

\(x\geq 0\) <=> \(\sqrt{x}\geq 0\) <=> \(\sqrt{x}+2\geq 2\) <=> \(\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\) \(\leq \) \(\dfrac{1}{2}\) 

<=> \(\dfrac{3}{\sqrt{x}+2}\) \(\leq \) \(\dfrac{3}{2}\) (nhân cả hai vế của bất đẳng thức với một số dương thì dấu của bất đẳng thức không đổi chiều)

Vậy max \(A=\dfrac{3}{\sqrt{x}+2}\) = \(\dfrac{3}{2}\) khi x nhận giá trị x = 0.

b, Tìm min của biểu thức \(B=5+\dfrac{-2}{\sqrt{x}+3}\)

Để tồn tại biểu thức: \(x\geq 0\) và \(x\neq 9\)

Đi từ điều kiện xác định của bài:

\(x\geq 0\) <=> \(\sqrt{x}\geq 0\) <=> \(\sqrt{x}+3\geq 3\) <=> \(\dfrac{1}{\sqrt{x}+3}\) \(\leq \) \(\dfrac{1}{3}\) 

<=> \(\dfrac{-2}{\sqrt{x}+2}\) \(\geq\) \(\dfrac{-2}{3}\) (nhân cả hai vế của bất đẳng thức với một số âm thì dấu của bất đẳng thức đổi chiều)

<=>  \(5+\dfrac{-2}{\sqrt{x}+2}\) \(\geq\) \(5-\dfrac{2}{3}\) <=> \(5+\dfrac{-2}{\sqrt{x}+2}\) \(\geq\) \(\dfrac{13}{3}\)

Vậy min của biểu thức \(B=5+\dfrac{-2}{\sqrt{x}+3}\) = \(\dfrac{13}{3}\) khi x nhận giá trị x = 0.

c, Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(C= \dfrac{x-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)

Điều kiện để \(C= \dfrac{x-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\) được xác định là \(x>0\)

Ta có: C = \(\sqrt{x}\) - 1 + \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\)

Xuất phát từ điều kiện xác định của bài:

\(x\geq 0\) <=> \(\sqrt{x}\geq 0\), \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\geq 0\). Dùng BĐT Côsi cho hai số  \(\sqrt{x}\geq 0\), \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\geq 0\)

\(\sqrt{x}\) + \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) \(\geq\) \(2\sqrt{\sqrt{x}.\dfrac{1}{\sqrt{x}}}\)

<=> \(\sqrt{x}\) + \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) \(\geq\) 2

<=> \(\sqrt{x}\) + \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) - 1 \(\geq\) 2 - 1

<=> \(\sqrt{x}\) + \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) - 1 \(\geq\) 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(C= \dfrac{x-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\) khi \(\sqrt{x}\) = \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) <=> x = 1.

Tham khảo thêm >>> Giải bài tập sách giáo khoa liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

Cunghocvui đã đem lại cho các bạn bài lý thuyết liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương lớp 9 và các dạng bài tập đầy đủ và chi tiết nhất. Nếu có đóng góp hay thắc mắc gì cho bài liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương, các bạn hãy để lại comment dưới phần bình luận nhé!