- Nhị thức Niu-ton (phần 1) (có lời giải chi tiết)

Câu 1 : Hệ số của \({x^7}\) trong khai triển \({\left( {x + 2} \right)^{10}}\) là:

A \(C_{10}^3{2^7}\)

B \(C_{10}^3\)

C \(C_{10}^3{2^3}\)

D \( - C_{10}^7{2^3}\)

Câu 2 : Khai triển và rút gọn đa thức: ..\(Q\left( x \right) = {\left( {1 + x} \right)^9} + {\left( {1 + x} \right)^{10}} + ... + {\left( {1 + x} \right)^{14}}\)..ta được đa thức:\(Q\left( x \right) = {a_0} + {a_1}x + ... + {a_{14}}{x^{14}}\). Xác định hệ số \({a_9}.\)

A 2560

B 3003

C 4380

D 1780

Câu 3 : Tìm hệ số của \({x^2}\) trong khai triển nhị thức \({\left( {\frac{x}{a} + \frac{a}{{{x^2}}}} \right)^8}\) với \(a,x \ne 0.\)

A \(C_8^2{a^{ - 4}}\)

B \(C_8^4{a^{ - 4}}\)

C \(C_8^3{a^{ - 2}}\)

D \(C_8^3\)

Câu 4 : Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau \({\left( {x\sqrt[4]{x^3} + \dfrac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {xy} \right)}^2}}}}}} \right)^{20}}\)

A \(C_{20}^{10}{x^{\frac{{62}}{6}}}{y^{ - \frac{{20}}{3}}}\)

B \(C_{20}^{10}{x^{\frac{{65}}{6}}}{y^{ - \frac{{20}}{3}}}\)

C \(C_{20}^{10}{x^{\frac{{64}}{6}}}{y^{ - \frac{{19}}{3}}}\)

D \(C_{20}^{10}{x^{\frac{{61}}{6}}}{y^{ - \frac{{19}}{3}}}\)

Câu 5 : Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau \({\left( {{x^3} + xy} \right)^{22}}\)

A \(C_{22}^{11}{x^{43}}{y^{11}}\)

B \(C_{22}^{11}{x^{40}}{y^{10}}\)

C \(C_{22}^{11}{x^{40}}{y^{11}}\)

D \(C_{22}^{11}{x^{44}}{y^{11}}\)

Câu 6 : Tìm hệ số \({x^8}\) trong khai triển \({\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^{12}}\)

A 66

B 72

C 120

D 144

Câu 7 : Tìm hệ số của \({x^5}\) trong khai triển của biểu thức: \(A = {\left( {x - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^{11}} + {\left( {{x^2} + \frac{1}{x}} \right)^7}\)

A 90

B -120

C 66

D 121

Câu 8 : Khai triển và rút gọn biểu thức \(1 - x + 2{(1 - x)^2} + \,...\, + n{(1 - x)^n}\) thu được đa thức \(P(x) = {a_0} + {a_1}x + \,...\, + {a_n}{x^n}\). Tính hệ số \({a_8}\) biết rằng \(n\) là số nguyên dương thoả mãn: \(\frac{1}{{C_n^2}} + \frac{7}{{C_n^3}} = \frac{1}{n}\).

A 89

B -73

C 17

D 90

Câu 9 : Tìm hệ số của \({x^8}\) trong khai triển đa thức của: \(\left[ {1 + {x^2}{{\left( {1 - x} \right)}}} \right]^8\)

A 240

B 425

C 360

D 238

Câu 10 : Tìm số hạng không chứa ẩn \(x\) trong khai triển nhị thức Niu-Tơn \({\left( {\frac{1}{x} + \sqrt x } \right)^{12}}\left( {x > 0} \right)\).

A 792

B 220

C 495

D 500

Câu 11 : Tìm số tự nhiên \(n,\) biết rằng trong dạng khai triển \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^n}\)thành đa thức đối với biến \(x,\) hệ số của \({x^6}\) bằng bốn lần hệ số của \({x^4}.\)

A 10

B 11

C 12

D 13

Câu 12 : Tìm số hạng không chứa \(x\) của khai triển \({\left( {\sqrt x + \frac{1}{x}} \right)^6}\), \(x > 0.\)

A 15

B 24

C 30

D 42

Câu 13 : Tìm hệ số của \({x^4}\) trong khai triển \(P\left( x \right) = x{(1 + x)^2} + {x^2}{(1 + x)^3} + {x^3}{(1 + x)^4} + {x^4}{(1 + x)^5}\)

A 8

B 10

C 12

D 16

Câu 14 : Tìm hệ số của \({x^8}\) trong khai triển \({\left( {{x^2} + 2} \right)^n},\) biết: \(A_n^3 - 8C_n^2 + C_n^1 = 49\). Điều kiện \(n \ge 4.\)

A 240

B 250

C 280

D 200

Câu 15 : Tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển \(f\left( x \right) = {\left( {\sqrt[3]{x} + \frac{1}{{\sqrt[4]{x}}}} \right)^7}\)với \(x > 0\).

A 35

B 42

C 56

D 45

Câu 16 : Tìm hệ số của \({x^5}\) trong khai triển biểu thức sau \(P{\rm{ }} = {\rm{ }}x{\left( {1 - 2x} \right)^5} + {x^2}{\left( {1 + 3x} \right)^{10}}\)

A 3320

B 2350

C 2470

D 2920

Câu 17 : Biết tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển \({\left( {{x^2} - \frac{2}{x}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( { - 1} \right)}^k}{{\left( {{x^2}} \right)}^{n - k}}{{\left( {\frac{2}{x}} \right)}^k}} \) bằng \(49\) . Khi đó tính hệ số của số hạng chứa \({x^3}\) trong khai triển đó?

A 145

B -160

C 150

D -144

Câu 18 : Với \(n\) là số nguyên dương, gọi \({a_{3n - 3}}\)là hệ số của \({x^{3n - 3}}\) trong khai triển thành đa thức của \({\left( {{\rm{ }}{x^2} + 1{\rm{ }}} \right)^n}{\left( {{\rm{ }}x + 2{\rm{ }}} \right)^n}\) . Tìm \(n\) để \({a_{3n - 3}} = 26n.\)

A 11

B 12

C 13

D 14