Tìm hệ số của \({x^8}\) trong khai triển đa thức c...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức khai triển \(\left[ {1 + {x^2}{{\left( {1 - x} \right)}^8}} \right] = {\sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k\left[ {{x^2}\left( {1 - x} \right)} \right]} ^k} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{x^{2k}}\sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i{{\left( { - 1} \right)}^i}} {x^i}} .\)

Giải chi tiết:

Ta có: \({\sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k\left[ {{x^2}\left( {1 - x} \right)} \right]} ^k} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{x^{2k}}\sum\limits_{i = 0}^k {{{\left( { - 1} \right)}^i}} C_k^i{x^i}} .\)

Vậy ta có hệ số của \({x^8}\)  là: \({\left( { - 1} \right)^i}C_8^kC_k^i\) thoã mãn \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le i \le k \le 8\\2k + i = 8\\i,k \in \mathbb{N}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}i = 0\\k = 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}i = 2\\k = 3\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Hệ số trong khai triển của \({x^8}\)  là:\(\)\({\left( { - 1} \right)^0}C_8^4C_4^0 + {\left( { - 1} \right)^2}C_8^3C_3^2 = 238.\)

Chọn D.