Với \(n\) là số nguyên dương, gọi \({a_{3n - 3}}\)...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Khai triển từng nhị thức: \({\left( {{\rm{ }}{x^2} + 1{\rm{ }}} \right)^n}{\left( {{\rm{ }}x + 2{\rm{ }}} \right)^n} = \left( {\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^{2k}}} } \right)\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{2^i}C_n^i{x^{n - i}}} } \right)\)

+) Xác định \(k,\,i\)  sao cho \(2k + \left( {n - i} \right) = 3n - 3\)

Giải chi tiết:

Ta có: \({\left( {{\rm{ }}{x^2} + 1{\rm{ }}} \right)^n}{\left( {{\rm{ }}x + 2{\rm{ }}} \right)^n} = \left( {\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^{2k}}} } \right)\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{2^i}C_n^i{x^{n - i}}} } \right)\)

Số hạng chứa \({x^{3n - 3}}\) thì: \(2k + \left( {n - i} \right) = 3n - 3 \Leftrightarrow 2k = 2n + i - 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = n;\,\,i = 3\\k = n - 1;\,\,i = 1\end{array} \right.\)

Hệ số là: \(C_n^nC_n^3 + C_n^{n - 1}C_n^1 = 26n \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6} + {n^2} = 26n \Leftrightarrow {n^2} + 3n - 154 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 11\\n =  - 14\end{array} \right.\)

Vậy \(n = 11\)  thõa mãn.

Chọn A.