Biết tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Xác định \(n\) theo tổng ba hệ số đầu tiên.

Ta có : \({\left( {{x^2} - \frac{2}{x}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( { - 1} \right)}^k}{{\left( {{x^2}} \right)}^{n - k}}{{\left( {\frac{2}{x}} \right)}^k}}  = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( { - 1} \right)}^k}{2^k}{x^{2n - 3k}}} \)

Tổng ba hệ số đầu tiên: \(C_n^0 - 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 = 49\) .

+) Xác định \(k\) ứng với \({x^3}\).

Giải chi tiết:

Ta có : \({\left( {{x^2} - \frac{2}{x}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( { - 1} \right)}^k}{{\left( {{x^2}} \right)}^{n - k}}{{\left( {\frac{2}{x}} \right)}^k}}  = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( { - 1} \right)}^k}{2^k}{x^{2n - 3k}}} \)

Tổng ba hệ số đầu tiên: \(C_n^0 - 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 = 49\) . Điều kiện: \(n \ge 2.\)

Ta có: \(C_n^0 - 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 = 49 \Leftrightarrow 1 - 2n + {2^2}\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 49 \Leftrightarrow 2{n^2} - 4n - 48 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n =  - 4\;\;\left( {ktm} \right)\,\,\,\,\,\\n = 6\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Số hạng tổng quát: \(C_6^k{\left( { - 1} \right)^k}{2^k}{x^{12 - 3k}}\)\(\left( {k \in \mathbb{N};k \le 6} \right)\)

Để có số hạng chứa \({x^3}\) : \(12 - 3k = 3 \Leftrightarrow k = 3\).

Hệ số của \({x^3}\)  là: \(C_6^3{\left( { - 1} \right)^3}{2^3} =  - 160.\)

Chọn B.