Khai triển và rút gọn biểu thức \(1 - x + 2{(1 - x...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Từ hệ thức \(\frac{1}{{C_n^2}} + \frac{7}{{C_n^3}} = \frac{1}{n}\), xác định \(n.\)

+) Dựa theo công thức khai triển xác định hệ số.

Giải chi tiết:

Ta có:  \(\frac{1}{{C_n^2}} + \frac{7}{{C_n^3}} = \frac{1}{n} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n \ge 3\\\frac{1}{{\frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}}}} + \frac{7}{{\frac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}}}} = \frac{1}{n}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n \ge 3\\\frac{2}{{n(n - 1)}} + \frac{{7.3!}}{{n(n - 1)(n - 2)}} = \frac{1}{n}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n \ge 3\\2\left( {n - 2} \right) + 42 = \left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n \ge 3\\{n^2} - 3n + 2 = 2n + 38\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n \ge 3\\{n^2} - 5n - 36 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}n =  - 4\\n = 9\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow n = 9.\)

\( \Rightarrow P = 1 - x + 2{\left( {1 - x} \right)^2} + ...... + 9{\left( {1 - x} \right)^9} = {a_0} + {a_1} + ...... + {a_9}{x^9}\)  

Suy ra \({a_8}\) là hệ số của \({x^8}\) trong biểu thức \(8{(1 - x)^8} + 9{(1 - x)^9}.\)

\(8{(1 - x)^8} + 9{(1 - x)^9} = 8\sum\limits_{k = 0}^8 {\left[ {C_8^k{{\left( { - 1} \right)}^{8 - k}}{x^{8 - k}}} \right]}  + 9\sum\limits_{n = 0}^9 {\left[ {C_9^n{{\left( { - 1} \right)}^{9 - n}}{x^{9 - n}}} \right]} \)

\( \Rightarrow \) Số hạng chứa \({x^8}\) thì  \(\left\{ \begin{array}{l}k = 0\\n = 1\end{array} \right.\)

Vậy hệ số \({a_8} = 8C_8^0 + 9C_9^1{\left( { - 1} \right)^{9 - 1}} = 89\) 

Chọn A.