Tìm hệ số của \({x^8}\) trong khai triển \({\left(...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Xác định \(n\) từ \(A_n^3 - 8C_n^2 + C_n^1 = 49.\)

+) Dựa vào công thức số hạng tổng quát để tìm hệ số của \({x^8}.\)

Giải chi tiết:

Ta có: \({\left( {{x^2} + 2} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^{2k}}{2^{n - k}}} .\)

Hệ số của số hạng chứa \({x^8}\)  là \(C_n^4{2^{n - 4}} \Leftrightarrow k = 4.\)

Theo đề bài ta có: \(A_n^3 - 8C_n^2 + C_n^1 = 49\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} - \frac{{8.n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} + \frac{{n!}}{{\left( {n - 1} \right)!}} = 49\;\;\;\left( {n \ge 3} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {n-2} \right)\left( {n-1} \right)n-4\left( {n-1} \right)n + n = 49\\ \Leftrightarrow {n^3}-7{n^2} + 7n-49{\rm{ }} = {\rm{ }}0\\ \Leftrightarrow \left( {n-7} \right)\left( {{n^2} + 7} \right) = 0 \Leftrightarrow n = 7\;\;\left( {tm} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \)  hệ số của \({x^8}\) là \(C_7^4{2^3} = 280.\)        

Chọn C.