Tìm hệ số của \({x^4}\) trong khai triển \(P\left(...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tính tổng từng hệ số của các số hạng chứa \({x^4}\)

Giải chi tiết:

Ta  có:

\(\begin{array}{l}x{(1 + x)^2} = x\sum\limits_{k = 0}^3 {C_2^k{x^k}}  = \sum\limits_{k = 0}^2 {C_2^k{x^{k + 1}}} {\rm{                         (1)}}\\{x^2}{(1 + x)^3} = {x^2}\sum\limits_{m = 0}^2 {C_3^m{x^m}}  = \sum\limits_{m = 0}^3 {C_3^m{x^{m + 2}}} {\rm{                 (2)}}\\{x^3}{(1 + x)^4} = {x^3}\sum\limits_{n = 0}^4 {C_4^n{x^n}}  = \sum\limits_{n = 0}^4 {C_4^n{x^{n + 3}}} {\rm{                      (3)}}\\{x^4}{(1 + x)^5} = {x^4}\sum\limits_{p = 0}^5 {C_5^p{x^p}}  = \sum\limits_{p = 0}^5 {C_3^p{x^{p + 4}}} {\rm{                     (4)}}\end{array}\)

Để có số hạng chứa \({x^4}\)  trong khai triển \(P\left( x \right)\) thì :

\(\left\{ \begin{array}{l}k + 1 = 4\\0 \le k \le 2\\m + 2 = 4\\0 \le m \le 3\\n + 3 = 4\\0 \le n \le 4\\p + 4 = 4\\0 \le p \le 5\\k,\;m,\;n,\;p \in \mathbb{N}\end{array} \right. \Leftrightarrow \;\left\{ \begin{array}{l}k \in \emptyset \\m = 2\\n = 1\\p = 0\end{array} \right..\) 

Þ Hệ số chứa \({x^4}\)  trong khai triển \(P\left( x \right)\)  là :\(C_3^2 + C_4^1 + C_5^0\)= 8

Chọn A.