Phương trình Parabol - Bộ kiến thức hay nhất không thể bỏ qua

Phương trình Parabol - Bộ kiến thức hay nhất không thể bỏ qua

Phương trình Parabol được coi là một học phần tương đối quan trọng trong chương trình Hình học giải tích cũng như là một phần không thể thiếu trong các bài thi trong kỳ và thi tốt nghiệp THPT. Chính vì vậy, để nắm chắc kiến thức liên quan đến dạng bài tập này chúng ta sẽ bắt đầu tìm hiểu các phần lý thuyết cơ bản sau đây. Mời các bạn cùng theo dõi!

I. Định nghĩa

Đường Parabol là gì?

Trong toán học, parabol là một đường conic được tạo bởi giao của một hình nón và một mặt phẳng song song với đường sinh của hình đó. Một parabol cũng có thế được định nghĩa như một tập hợp các điểm trên mặt phẳng cách đều một điểm cho trước (tiêu điểm) và một đường thẳng cho trước (đường chuẩn).

Cho một điểm F cố định và một đường thẳng Δ cố định không đi qua F. Thì đường Parabol là tập hợp tất cả các điểm M cách đều F và Δ. Trong đó:

• Điểm F được coi là tiêu điểm của Parabol 
• Đường thẳng Δ được gọi là đường chuẩn của parabol.
• Khoảng cách từ F đến Δ được gọi là tham số tiêu của parabol.

II. Phương trình Parabol

1. Phương trình tổng quát

Phương trình đường Parabol được biểu diễn như sau: \(y=a^2+bx+c\)

• Hoành độ của đỉnh là \(−\dfrac{b}{2a}\)
• Thay tọa độ trục hoành vào phương trình, ta tìm được hoành độ Parabol có công thức dưới dạng: \(\dfrac{b^2−4ac}{4a}\)  .
• Tọa độ đỉnh của Parabol và hình dạng phụ thuộc vào dấu của a

2. Phương trình chính tắc của Parabol

Phương trình chính tắc của parabol được biểu diễn dưới dạng: \(y^2=2px(p>0)\)

Chứng minh:

Cho parabol với tiêu điểm F và đường chuẩn Δ.

Kẻ \(FP⊥Δ(P∈Δ)\). Đặt FP = p.

Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm của FP và điểm F nằm trên tia Ox.

Suy ra ta có \(F=(\dfrac{P}{2};0),P=(\dfrac{−P}{2};0)\)

Và phương trình của đường thẳng Δ là \(x+\dfrac{p}{2}=0\)

Điểm M(x ; y)  nằm trên parabol đã cho khi và chỉ khi khoảng cách MF bằng khoảng cách từ M tới Δ, tức là:

\(\sqrt{(x−\dfrac{p}{2})^2+y^2}=∣x+\dfrac{p}{2}∣\)

Bình phương 2 vế của đẳng thức rồi rút gọn, ta được phương trình chính tắc của parabol: \(y^2=2px(p>0)\)

Bạn cũng có thể xem thêm tại: Công thức về Parabol

3. Cách vẽ Parabol 

Cho hàm số \(y = ax^2\) .Hàm số này xác định trên R :

• nếu a > 0 thì hàm số giảm trên (-∞ ; 0) ; tăng trên (0;+ ∞ ),đạt cực tiểu khi x = 0
• nếu a < 0 thì hàm số tăng trên (-∞ 0) ;giảm trên (0;+ ∞ ).đạt cực đại khi x = 0

Đồ thị Parabol của hàm số \(y = ax^2\) có đỉnh là gốc O và trục đối xứng là Oy.

Tọa độ đỉnh Parabol là điểm O (0;0)

Mới nhất:

• Phương trình lượng giác cơ bản thường gặp mà các bạn cần lưu ý
• Lý thuyết chung nhất về cấp số nhân học sinh không thể bỏ lỡ
• Bỏ túi ngay tổng hợp bộ lý thuyết về bất đẳng thức Bunhiacopxki

III. Bài tập ví dụ về đường Parabol

Bài 1: Cho Parabol \((P): y=2x^2\).

a) Vẽ đồ thị hàm (P).

b) Tìm giao điểm của (P) với đường thẳng y = 2x+1.

Bài 2: Cho \((P): y=\dfrac{1}{2}x^2 \) và đường thẳng (d); y = ax+b.

a) Xác định điểm a và b để đường thẳng (d) đi qua A(-1;0) và tiếp xúc với (P).

b) Tìm tọa độ tiếp điểm.

Bài 3: Cho \((P): y=\dfrac{-x^2}{4} \) và (d): y-x+m.

a) Vẽ (P).

b) Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B.

Bài 4: Cho \((P): y=x^2\) và đường thẳng (d): y = 2x+m.

a) Vẽ (P).

b) Tìm tọa độ tiếp điểm.

Tham khảo thêm tại:  Đường Parabol - Toán lớp 10 Nâng cao

IV. Ứng dụng của Parabol trong đời sống

1. Ứng dụng của parabol trong đời sống – Xây dựng

Người ta làm cầu có hình dạng parapol với bề lõm quay xuống dưới để lực mà cây cần gánh chịu được chia đều sang hai bên chân cầu, để giảm lực lên cả cây cầu và giúp cầu khó bị sập hơn. Vì trên mặt cầu hình dạng parabol thì xe luôn có khuynh hướng đi theo phương tiếp tuyến của mặt cầu làm lực tác dụng lên mặt cầu càng nhỏ.

Tại các công viên vui chơi giải trí, đường ray tàu lượng siêu tốc được thiết kế theo các cung đường parabol để tăng cảm giác mạnh cho người chơi đồng thời tạo động lực cho tàu di chuyển.

2. Ứng dụng của parabol trong đời sống – Chế tạo mặt kính

Ứng dụng trong sản xuất kinh thiên văn phản xạ và gương cầu. Đèn pin, đèn chiếu sáng là dạng mặt cầu parabol giúp ánh sáng lan tỏa xa và mạnh hơn so với mặt cầu phẳng bình thường.

3. Ứng dụng của parabol trong đời sống – Anten Parabol

Gương parabol là một tấm gương hoặc các mảnh kim loại có khả năng phản chiếu và hội tụ ánh sáng hay các loại sóng điện từ khác tại một điểm. Ngày nay, gương mang hình parabol được sử dụng rất rông rãi như ăng ten vi sóng và chảo vệ tinh.

Trên đây là bản tổng hợp các dạng phương trình và bài tập về phương trình Parabol cần ghi nhớ, nếu bạn quan tâm thì hãy lưu lại mỗi khi cần thiết nhé. Hy vọng rằng những thông tin chúng tôi cung cấp sẽ giúp bạn tìm ra được phương pháp làm tốt nhất cho dạng bài tập này và đem lại điểm số trọn vẹn. Chúc bạn may mắn!