Lý thuyết chung nhất về cấp số nhân học sinh không thể bỏ lỡ

Hướng dẫn giải

Lý thuyết chung nhất về cấp số nhân học sinh không thể bỏ lỡ

Có lẽ cấp số nhân đã không còn là khái niệm xa lạ với nhiều bạn học sinh, đặc biệt là các bạn học sinh khối 11. Đây được đánh giá là một học phần có ý nghĩa quan trọng trong chương trình học Đại số và Giải tích bậc Trung học phổ thông. Để nắm chắc kiến thức và giải 18quyết tốt các vấn đề về cấp số nhân thì chúng tôi mong muốn cung cấp cho bạn những công thức cần nhớ nhất về mảng lý thuyết này!

I. Định nghĩa

Cấp số nhân là gì?

Trong toán học, một cấp số nhân (tiếng Anh: geometric progression hoặc geometric sequence) là một dãy số thoả mãn điều kiện kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi. Hằng số này được gọi là công bội của cấp số nhân.

Như vậy, một cấp số nhân có dạng: \({\displaystyle a,ar,ar^{2},ar^{3},ar^{4},\ldots }\)trong đó r là công bội và a là số hạng đầu tiên.

\(u_n\) là cấp số nhân \(u_{n+1}=u_n.q\) với \(n\in N^*\)

Công bội \(q=\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\)

Số hạng tổng quát:

\(u_n=u_1.q^{n-1}, n\geq2\)

Tính chất:

\(u^{2}_{k}=u_{k-1}.u_{k+1}\) hay \(|u_{k}|=u_{k-1}.u_{k+1}\) với \(n\geq2\)

Ví dụ:

  • Cấp số nhân với công bội là 2 và A phần tử đầu tiên là 1

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128....

  • Cấp số nhân với công bội 2/3 và phần tử đầu tiên là 729:

729 (1, 2/3, 4/9, 8/27, 16/81, 32/243, 64/729,....) = 729, 486, 324, 216, 144, 96, 64,....

  • Cấp số nhân với công bội −1 và phần tử đầu là 3

3 (1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1,....) = 3, −3, 3, −3, 3, −3, 3, −3, 3, −3,....

Sự thay đổi của cấp số nhân tuỳ theo giá trị của công bội.

Nếu công bội là:

  • Số dương: Các số hạng luôn có dấu cố định.
  • Số âm: các số hạng là đan dấu giữa âm và dương..
  • 0, mọi số hạng bằng 0.
  • Lớn hơn 1, các số hạng tăng theo hàm mũ tới vô cực dương hoặc âm.
  • 1, là một dãy không đổi.
  • Giữa 1 và −1 nhưng khác không, chúng giảm theo hàm mũ về 0.
  • −1, là một dãy đan dấu.
  • Nhỏ hơn −1, chúng tăng theo hàm mũ về vô cực (dương và âm).

II. Công thức cấp số nhân

Công bội q của cấp số nhân

Công bội q của cấp số nhân (\(u_1\)) được tính bằng công thức:

\(q=\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\)

Số hạng tổng quát của cấp số nhân

Nếu cấp số nhân có số hạng đầu (\(u_1\)) và công bội q thì số hạng tổng quát (\(u_n\)) được tính bằng công thức:

\(u_n=u_1.q^{n-1}\) với \(n\geq2\)

Cấp số nhân lùi vô hạn

(\(u_1\)) có công bội q, |q| <1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

III. Công thức tính tổng cấp sô nhân

\(S_n=u_1+u_2+...+u_n=u_1\dfrac{1-q^n}{1-q}(q\neq1)\)

Nếu q=1 thì cấp số nhân là \(S_n=n.u_1\)

IV. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Cho cấp số nhân lùi vô hạn (\(u_n\)) có công bội là q. Khi đó ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S bằng:

\(S=\dfrac{u_1}{1-q}\), với |q|<1

V. Một số bài tập cấp số nhân cơ bản

Bài 1: Xác định cấp số và xác yếu tố của cấp số nhân

Phương pháp: 

  • Dãy số (\(u_n)\) là một cấp số nhân \(\leftrightarrow \dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q\) không phụ thuộc vào n và q là công bội
  • Ba số a,b,c theo thứ tự đó lập thành \(\leftrightarrow ac=b^2\).
  • Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua \(u_1\) và q.

Bài 2: Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số nhân

Phương pháp: a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số nhân \(\leftrightarrow ac=b^2\)

VI. Một số lưu ý để làm tốt bài tập về cấp số nhân

Cấp số nhân có lẽ không phải là một khái niệm xa lạ đối với những ai đã từng học qua đại số cấp trung học phổ thông. Các bài tập liên quan đến cấp số nhân thường là những bài tập khá đa dạng và phân bổ từ khó đến dễ. Để nắm chắc kiến thức về cấp số nhân các bạn nên tham khảo thêm về kiến thức cơ bản:

Định nghĩa cấp số nhân

Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân

Số hạng thứ n của cấp số nhân

Ngoài ra, để củng cố thêm kiến thức các bạn nên luyện làm bài tập trong sách giáo khoa hoặc tham khảo trên các trang mạng xã hội để tăng kỹ năng làm bài cũng như nhớ nhanh được những công thức cần thiết. Hệ thống đáp án bài tập cấp số nhân lớp 11 đã được cập nhật tại Ôn tập chương III - Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân - Toán lớp 11. Trong quá trình làm bài nếu gặp khó khăn các bạn nên có sự tương tác với các bạn trong lớp và nhờ đến sự hỗ  trợ của các thầy cô để giải đáp các vấn đề thắc mắc mà chỉ có thể trao đổi trực tiếp. Việc chăm chỉ luyện tập sẽ giúp bạn bớt bị sốc khi làm quen với một dạng bài tập mới, với lượng kiến thức khổng lồ như vậy đòi hỏi phải có thời gian trau dồi và thường xuyên luyện tập mới có thể đem lại hiệu quả cao nhất trong học tập.

Ngoài việc luyện làm các bài tập về cấp số nhân để nâng cao số điểm cùa mình thì các bạn có thể luyện các bài tập nâng cao hoặc tham khảo thêm các dạng bài tập có liên quan như:

Công thức Toán học

Cấp số cộng đầy đủ và chi tiết nhất

Công thức lượng giác

Những thông tin mới nhất trên là toàn bộ những gì tổng hợp về cấp số nhân. Tuy rằng chúng là những kiến thức khô khan nhưng chúng tôi tin chắc rằng cùng với việc luyện tập thường xuyên chắc chắn sẽ giúp bạn làm chủ được phần học này và nâng cao số điểm của mình sau mỗi bài kiểm tra. Hy vọng rằng, chúng sẽ giúp ích cho bạn và giúp bạn giải đáp được phần nào thắc mắc sau mỗi giờ học trên lớp. Chúc các bạn có một buổi học vui vẻ!

Tags cấp số nhân công thức cấp số nhân tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Có thể bạn quan tâm