Bỏ túi ngay tổng hợp bộ lý thuyết về bất đẳng thức Bunhiacopxki

Hướng dẫn giải

Bỏ túi ngay tổng hợp bộ lý thuyết về bất đẳng thức Bunhiacopxki

Bất đẳng thức Bunhiacopxki là bất đẳng thức được sử dụng rất nhiều và có tính thực tiễn trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức trong chương trình Toán phổ thông trung học. Đây là phần lý thuyết rất quan trọng giúp các bạn nâng cao thang điểm của mình trong mỗi bài kiểm tra hay bài thi. Chính vì vậy, chúng tôi mông muốn gửi đến bạn bản tổng hợp chung nhất về mảng lý thuyết này, hy vọng chúng hữu ích đối với bạn đọc!

I. Định nghĩa

Bất đẳng thức Bunhiacopxki là gì?

Cho 2 bộ số thực \((a_1,a_2,..,a_n) \) và \((b_1,b_2,...,b_n)\), mỗi bộ gồm n số. Khi đó ta có: \((a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2\le(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

\(\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=\dfrac{a_3}{b_3}\)với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử phải bằng 0.

Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki

\((a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \ge (ac + bd)^2 \)
\(\leftrightarrow a²c² + a²d² + b²c² + b²d² - a²c² - 2abcd - b²d² \ge0 \)
\(\leftrightarrow a²d² - 2ad.bc + b²c² \ge0 \)
\(\leftrightarrow (ad - bc)² \ge0\) (đúng với mọi a , b ,c ,d) 

Đẳng thức xảy ra:
\(\leftrightarrow ad - bc =0 \leftrightarrow ad = bc\)

II. Bất đẳng thức Bunhicacopxki mở rộng

Mở rộng bất đẳng thức Bunhicacopxki cho 3 số thực không âm

\((a_1;a_2;...;a_n);(b_1;b_2;...;b_n);(c_1;c_2;...;c_n)\) ta luôn có:

\((a_1b_1c_1+a_2b_2c_2+a_3b_3c_3)^2\le(a_1^3+a_2^3+a_3^3)(b_1^3+b_2^3+b_3^3)(c_1^3+c_2^3+c_3^3)\)

Chứng minh

Đặt \(A=\sqrt[3]{a_1^3+a_2^3+a_3^3},B=\sqrt[3]{b_1^3+b_2^3+b_3^3},C=\sqrt[3]{c_1^3+c_2^3+c_3^3}\)

Nếu A=0, B=0, C=0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng vì cả hai vế đều bằng 0

Vậy ta xét trường hợp A>0, B>0, C>0

Đặt \(\left\{ \begin{array}{cc} x_1^3+x_1^3+x_1^3=1\\y_1^3+y_1^3+y_1^3=1\\z_1^3+z_1^3+z_1^3=1\end{array} \right.\)

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{cc} x_1^3+x_1^3+x_1^3=1\\y_1^3+y_1^3+y_1^3=1\\z_1^3+z_1^3+z_1^3=1\end{array} \right.\) và bất đẳng thức trở thành \(x_1y_1z_1+x_2y_2z_2+x_3y_3z_3\le1\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm: \(x_i^3;y_i^3;z_i^3(i=1;2;3)\) ta có: \( \left\{ \begin{array}{cc} x_1y_1z_1\le\dfrac{x_1^3+x_1^3+x_1^3}{3}\\x_2y_2z_2\le\dfrac{x_2^3+x_2^3+x_2^3}{3}\\x_3y_3z_3\le\dfrac{x_3^3+x_3^3+x_3^3}{3}\end{array} \right.\)

Cộng các bất đẳng thức trên ta được: \(x_1y_1z_1+x_2y_2z_2+x_3y_3z_3\le1(đpcm)\)

Đẳng thức xảy ra \( \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{cc} x_1=y_1=z_1\\x_2=y_2=z_2\\x_3=y_3=z_3\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{cc} \dfrac{a_1}{A}=\dfrac{b_1}{B}=\dfrac{c_1}{C}\\\dfrac{a_2}{A}=\dfrac{b_2}{B}=\dfrac{c_2}{C}\\\dfrac{a_3}{A}=\dfrac{b_3}{B}=\dfrac{c_3}{C}\end{array} \right.\)

Hay \(a_i:b_i:c_i=A:B:C(i=1;2;3)\) tức là: \(a_1:b_1:c_1=a_2:b_2:c_2=a_3:b_3:c_3\)

III. Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 3 số

\((xy + yz + xz)^2 \le (x^2 + y^2 + z^2)(x^2 + y^2 + z^2) \)

Dấu bất đẳng thức xảy ra khi nào?

Ta có: \((x^2 + y^2 + z^2)(x^2 + y^2 + z^2)\)

\(= x^4 + x^2y^2 + x^2z^2 + x^2y^2 + y^4 +y^2z^2 + x^2z^2 +z^2y^2 + z^4 \)

\(= x^4 + y^4 + z^4 + 2 x^2y^2 + 2x^2z^2 + 2y^2z^2 \)

\((xy + yz + xz )^2\)

\(= x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 + 2 xz^2y + 2xzy^2 + 2yzx^2 \)

\((xy + yz + xz)^2 \le(x^2 + y^2 + z^2)(x^2 + y^2 + z^2) \)

\(\leftrightarrow x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 + 2 xz^2y + 2xzy^2 + 2yzx^2 \le x^4 + y^4 + z^4 + 2 x^2y^2 + 2x^2z^2 + 2y^2z^2 \)

\(\leftrightarrow 0 \le x^4 + y^4 + z^4 + x^2y^2 + x^2z^2 + y^2z^2 - z^2x^2 - 2 xz^2y - 2xzy^2 - 2yzx^2 \)

\(\leftrightarrow 0\le (x^4 - 2yzx^2 + y^2z^2 ) + ( y^4 - 2xzy^2 + x^2z^2 ) + (z^4 - 2xz^2y + x^2y^2 )\)

\(\leftrightarrow 0 \le (x^2 -yz)^2 + ( y^2 -xz)^2 + (z^2-xy)^2 ( đúng) \)

Đẳng thức xảy ra \(\leftrightarrow\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{z}=\dfrac{z}{x}\)

IV. Bất đẳng thức Bunhiacopxki và ứng dụng

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh các bất đẳng thức khác

Ví dụ: Cho a,b,c >0. Chúng minh rằng:

\(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a}\geq\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\)

Với a,b,c >0 ta có \(a+b+c\geq3\sqrt[3]{abc}\) (bất đẳng thức Cosi)

\(a^2+b^2+c^2\geq\dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)\) Cosi - Bunhia

Hay \(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a}\geq(\dfrac{1}{3}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c})^2\geq\dfrac{1}{3}(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a})\)\(3\sqrt[3]{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{a}}= \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\) (đpcm)

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất ( Min, Max của hàm số)

Ví dụ: Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện: \(xy+yz+zx=1\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P=x^4+y^4+z^4\)

Ta có: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 6 số:

\(a_1=x\)\(a_2=y\)\(a_3=z\)\(b_1=y\)\(b_2=z\)\(b_3=x\)

ta có:

\(1=(xy+yz+xz)^2\leq(x^2+y^2+z^2)(x^2+y^2+z^2)\leftrightarrow (x^4+y^4+z^4)\geq\dfrac{1}{3}\)

Ta lại áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki cho: \(a_1=1; a_2=1;a_3=1;b_1=x^2;b_2=y^2;b_3=z^2\)

\(1\leq(xy+yz+xz)^2\leq(1+1+1)(x^4+y^4+z^4)\rightarrow (x^4+y^4+z^4)\geq\dfrac{1}{3}\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi: \(\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{z}=\dfrac{z}{x}\) và \(x^2=y^2=z^2\rightarrow x=y=z=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

Vậy \(P_{min}=\dfrac{1}{3}\)

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để giải phương trình

V. Bí quyết nhớ nhanh công thức về bất đẳng thức Bunhiacopxki

Bất đẳng thức Bunhiacopxki đc sử dụng chủ yếu trong các bài tập tính toán hoặc chứng minh bất đẳng thức. Chính vì vậy để làm tốt các bài tập liên quan đến dạng này thì các bạn nên nắm chắc kiến thức nền tảng trước, tham khảo thêm tại đâyBất đẳng thức Bunhiacopxki.

Ngoài ra, các bạn có thể luyện tập các bài có sẫn trong sách giáo khoa hoặc sách tham khảo để ghi nhớ công thức một cách dễ dàng hơn. Bạn cũng có thể tham khảo thêm các dạng lý thuyết khác để nâng cao số điểm của mình. Một số kiến thức toán học tổng hợp tại đây Tổng hợp công thức toán học, và các dạng công thức có liên quan dùng trong bài toán chứng minh đẳng thức hoặc bất đẳng thức Bất đẳng thức Cauchy ( Cô-si)Bất đẳng thức giá trị tuyệt đốiBất đẳng thức véc tơBất đẳng thức suy ra từ hằng đẳng thức,...Hoặc tham khảo các bài tập giải để tìm hiểu cách làm và đem lại số điểm tuyệt đối tại Toán lớp 12 Nâng cao.

Để giảm bớt độ khô khan trong mỗi bài học, các bạn nên lựa chọn phương pháp học nhóm hoặc trao đổi với thầy cô giáo để đem lại hiệu quả cao trong học tập.

Vừa rồi là những thông tin mà chúng tôi tổng hợp được về lý thuyết bất đẳng thức Bunhiacopxki và các bài tập có liên quan. Hy vọng rằng chúng sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình giải bài tập. Mọi thắc mắc về bài học xin vui lòng để lại comment của bạn, chúng tôi sẽ cố gắng giải đáp cho bạn một cách nhanh nhất! Chúc các bạn có một buổi học vui vẻ!

Tags bất đẳng thức bunhiacopxki bất đẳng thức Bunhiacopxki lớp 9 chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki bất đẳng thức bunhiacopxki mở rộng

Có thể bạn quan tâm