Phương trình mặt cầu hệ tọa độ không gian - Dạng bài không thể bỏ qua

Phương trình mặt cầu hệ tọa độ không gian - Dạng bài không thể bỏ qua

Trong bài học hôm nay chúng ta sẽ tìm hiểu về định nghĩa mặt cầu là gì, các dạng phương trình mặt cầu và vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng. Nếu bạn có những thắc mắc thì bài viết giúp bạn trả lời những câu hỏi trên!

I. Định nghĩa

Trong không gian metric ba chiều, mặt cầu là quỹ tích những điểm cách đều một điểm O cố định cho trước một khoảng không đổi R. Điểm O gọi là tâm và khoảng cách R gọi là bán kính của mặt cầu.

Xem ngay tại: Mặt cầu - Toán lớp 12

Dạng 1: Mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R:

\(R: (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\). (1)

Dạng 2: \(x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0(a^2+b^2+c^2-d>0)\) (2). Khi đó: Mặt cầu tâm I(-a; -b; -c), bán kính \(R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}\).

Tìm hiểu thêm tại Các dạng phương trình của mặt cầu

1. Vị trí tương đối của mặt cầu với đường thẳng

Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R và đường thẳng \((P)=Ax+By+Cz+D=0\)

Tính: \(d(I,\Delta)\). Nếu:

• \(d(I,\Delta)>R:(\Delta )\cap (C)=\phi\);
•  \(d(I,\Delta)<R:(\Delta )\cap (C)\) tại 2 điểm phân biệt;
•  \(d(I,\Delta)=R:(\Delta )\cap (C)\) tiếp xúc nhau, \((\Delta)\)gọi là tiếp tuyến của mặt cầu.

2. Vị trí tương đối của mặt cầu với đường thẳng

Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R và mặt phẳng \((P)=Ax+By+Cz+D=0\).

Tính:  \(d(I,(P))= \dfrac{|Aa+Bb+Cc+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\).       

Nếu: 

• \(d(I,(P))>R: (P)\cap (C)=\phi\);
•  \(d(I,(P))<R: (P)\cap (C)\)là đường tròn \((H,r=\sqrt{R^2 -d^2(I;(P))})\) với H là hình chiếu của I trên (P). Vậy đường tròn trong không gian có phương trình: \(\left\{\begin{array}{cc}(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\\Ax+By+Cz+D=0\end{array}\right.\)
•  \(d(I,(P))=R: (P)\cap (C)\) tiếp xúc nhau tại điểm H là hình chiếu của I trên (P), (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (C).

Bạn cũng có thể xem tại: Sự tương giao giữa mặt cầu và mặt phẳng

II. Các dạng bài tập về viết phương trình mặt cầu

1. Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm

Dạng bài: Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C và thỏa mãn điều kiện cho trước, trong đó tọa độ A, B, C đã cho

Phương pháp giải

Gọi I (x; y; z ) là tâm mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C

\(⇔ IA=IB=IC\)

\(⇔\left\{\begin{array}{cc}IA^2=IB^2\\IA^2=IC^2\end{array}\right.\)

\(⇔\left\{\begin{array}{cc}a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\a_2x+b_2y+c_2z=d_2\end{array}\right.\)

Dựa vào điều kiện cho trước để tìm phương trình còn lại

⇒ Tọa độ tâm I, R2 = IA2

⇒ Phương trình mặt cầu cần tìm.

2. Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm O, A(1;0;0), B(0;−2;0), C(0;0;4).

Lời giải: Phương trình mặt cầu cần tìm có dạng \(x^2+y^2+z^2−2ax−2by−2cz+d=0(S)\)
(S) đi qua bốn điểm O, A, B, C nên \(\left\{\begin{array}{cc}d=0\\1-2a+d=0\\4+4b+d=0\\16-8c+d=0\end{array}\right.⇔ \left\{\begin{array}{cc}a=\dfrac{1}{2}\\b=-1\\c=2\\d=0\end{array}\right.\)
Vậy phương trình \((S):x^2+y^2+z^2−x+2y−4z=0\).

3. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng Oxy

Bài tập: Viết phương trình mặt cầu có tâm I( -3;2;4) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy).

\(R= d(I,(Oxy))=3\)

Suy ra phương trình mặt cầu: \((x+3)^2+(y-2)^2+(z-4)^2=9\)

III. Các dạng bài về phương trình mặt cầu

Dạng 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu cho trước.

Phương pháp:

• Đưa phương trình về dạng 1.
• Kiểm tra điều kiện để phương trình trên là phương trình mặt cầu. Khi đó tìm tập hợp tâm của học mặt cầu đó.

Dạng 2: Viết phương trình của mặt cầu khi biết một số yếu tố cho trước. Đi xác định tâm và bán kính của mặt cầu.

Phương pháp:

• Biết tâm: tìm bán kính
• Biết bán kính: tìm tâm
• Chưa biết tâm và bán kính:Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, tiếp xúc với 2 mặt phẳng cho trước.... thường xác định tâm trước sau đó đi tìm bán kính.

Dạng 3: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu

Bài toán 1: Lập phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S) tâm I, bán kính R  tại điểm A

Cách giải:

mp(P) đi qua A và nhận véc tơ \(\overrightarrow{IA}\)  làm véc tơ pháp tuyến

Bài toán 2: Lập phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R biết véc tơ pháp tuyến của (P) là: \(\overrightarrow{n}=(A,B,C)\)  

Cách giải:

\((P)=Ax+By+Cz+D=0\)

Có:  \(d(I,(P))= R\leftrightarrow \dfrac{|Aa+Bb+Cc+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=R\leftrightarrow\) tìm được D suy ra phương trình mp(P).

Chú ý: Trong bài toán cho biết véc tơ pháp tuyến dưới dạng:

- Biết (P) song song với một mặt phẳng hoặc song song với 2 đường thẳng cho trước.

- Biết vuông góc với 1 đường thẳng cho trước.

Bài toán 3: Lập phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S)  tâm I(a; b; c), bán kính R biết (P) chứa đường thẳng (d) cho trước.

Cách giải:

- Viết phương trình chùm mặt phẳng đi qua (d).

- Xét đường thẳng (d) dưới dạng phương trình tổng quát;

- Sử dụng điều kiện tiếp xúc tìm ra mp(P).

Bài toán 4: Lập phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S), tâm I(a; b; c), bán kính R biết (P) đi qua điểm C và:

• Song song với đường thẳng (d) cho trước.
• Vuông góc với mặt phẳng (Q) cho trước.

Cách giải:

• Gọi:  \((Q)=(d;C);a=(P)\cap(Q)\rightarrow\) đi qua A và song song với d nên có pt xác định. Bài toán trở thành viết phương trình mp(P) đi qua a và tiếp xúc với mặt cầu (S)
• Tương tự như trên với: d đi qua A và vuông góc với mp(Q).

Tham khảo ngay bài tập về phương trình mặt cầu có lời giải: Phương trình mặt cầu hoặc bạn cũng có thể tìm hiểu thêm Ôn tập chương II - Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu - Toán lớp 12

Mặt cầu là một kiến thức quan trọng trong chương tọa độ không gian, cùng với đó là những ứng dụng trong giải các bài tập Toán học. Hy vọng rằng những kiến thức tổng hợp trên đã giúp bạn giải đáp được phần nào thắc mắc. Chúc các bạn học tập vui vẻ!