Phương trình lượng giác cơ bản thường gặp mà các bạn cần lưu ý

Hướng dẫn giải

Phương trình lượng giác cơ bản thường gặp mà các bạn cần lưu ý

Nếu các bạn đã học qua về lý thuyết công thức lượng giác thì chắc chắn sẽ được tiếp xúc với các dạng bài tập liên quan đến phương trình lượng giác. Đây được coi là một học phần tương đối quan trọng trong chương trình học Đại số và Giải tích cũng như là một phần không thể thiếu trong các bài thi trong kỳ và thi tốt nghiệp THPT. Chính vì vậy, để nắm chắc kiến thức liên quan đến dạng bài tập này chúng ta sẽ bắt đầu tìm hiểu các phần lý thuyết cơ bản sau đây. Mời các bạn cùng theo dõi!

I. Định nghĩa và các phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình lượng giác là gì?

Là các phương trình bao gồm các hàm toán học của góc, được dùng khi nghiên cứu tam giác và các hiện tượng có tính chất tuần hoàn.

Các phương trình lượng giác cơ bản

  • \(sinx=m\)

Nếu \(|m|>1\): Phương trình vô nghiệm

Nếu \(|m|\leq1\): Chọn một góc \(\alpha\) sao cho \(m = sin\alpha\)

Khi đó nghiệm của phương trình là \(\left\{\begin{array}{cc}x=\alpha+2k\pi\\x=\pi-\alpha+2k\pi\end{array}\right.\) với \(k\in Z\)

  • \(cosx=m\)

Nếu \(|m|>1\): Phương trình vô nghiệm

Nếu \(|m|\leq1\): Chọn một góc \(\alpha\) sao cho \(m = cos\alpha\)

Khi đó nghiệm của phương trình là \(\left\{\begin{array}{cc}x=\alpha+2k\pi\\x=-\alpha+2k\pi\end{array}\right.\) với \(k\in Z\)

  • \(tanx=m\)

Chọn một góc \(\alpha\) sao cho \(m=tan\alpha\)

Khi đó phương trình có nghiệm với mọi m

\(tanx=tan\alpha\leftrightarrow x=\alpha+k\pi\) với \(k\in Z\)

Hoặc \(tanx=tan\alpha\leftrightarrow x=\alpha-arctan\alpha+k\pi\)

Chú ý \(tanx=0\leftrightarrow x=k\pi\), tanx không xác định khi \(x=\dfrac{k}{2}+k\pi\)

  • \(cotx=m\)

Chọn một góc \(\alpha\) sao cho \(m=cot\alpha\)

Khi đó phương trình có nghiệm với mọi m

\(cotx=cot\alpha\leftrightarrow x=\alpha+k\pi\) với \(k\in Z\)

Hoặc \(cotx=cot\alpha\leftrightarrow m=arccotm+k\pi\)

Chú ý \(cotx=0\leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\), cotx không xác định khi \(x=k\pi\)

II. Cách giải các phương trình lượng giác

  • Phương pháp 1: Đưa về dạng phương trình lượng giác cơ bản

- Điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác

- Kết hợp các kiến thức đã học để đưa ra các điều kiện cơ bản có nghiệm thỏa mãn điều kiện trước

  • Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp khảo sát

Giả sử phương trình lượng giác chứa tham số m có dạng g ( x,m ) = 0 (1). Xác định m để phương trình (1) có nghiệm \(x\in D\)

Phương pháp:

- Đặt ấn phụ t = h(x) trong đó h (x) là 1 biểu thức thích hợp trong phương trình (1)

- Tim miền giá trị (điều kiện) của t trên tập xác định D. Gọi miền giá trị là D1

- Đưa phương trình (1) về phương trình \(f(m,t)=0\) 

- Tính \(f'(m,t)\) và lập bảng biến thiên trên miền D1

- Căn cứ vào bảng biến thiên và kết quả bước 4 mà xác định giá trị của m

III. Phương trình lượng giác thường gặp

Dưới đây là tổng hợp một số phương trình lượng giác thường gặp trong sách bài tập và các bài thi mà các bạn cần lưu ý:

Phương trình bậc 2 đối với một hàm lượng giác:

  • \(asin^2x+bsinx+c=0\), đặt \(t=sinx\), khi đó phương trình trở thành \(at^2+bt+c=0\)
  • \(acos^2x+bcosx+c=0\), đặt \(t=cosx\), khi đó phương trình trở thành \(at^2+bt+c=0\)
  • \(atan^2x+btanx+c=0\), đặt \(t=tanx\), khi đó phương trình trở thành \(at^2+bt+c=0\)
  • \(acot^2x+bcotx+c=0\), đặt \(t=cotx\), khi đó phương trình trở thành \(at^2+bt+c=0\)

Phương trình với bậc số cao hơn một hàm lượng giác thì ta làm tương tự

Phương trình bậc nhất theo sin, cos:

  • Dạng cơ bản:

 \(asinx+bcosx=0\)

  • Dạng mở rộng:

\(asinx+bcosx=csiny\)

\(asinx-bcosx=csiny\)

\(asinx+bcosx=csiny+dcosy\)

Phương trình đẳng cấp sin, cos:

  • Dạng 1: \(asin^x2x+bsinxcosx+ccos^2x=d\)
  • Dạng 2: \(asin^3x+bsin^2xcosx+csinxcos^2x+dcos^3x=0\)
  • Dạng 3: \(asin^4x+bsin^3xcosx+csin^2xcos^2x+dsinxcos^3x+ecos^4x=0\)

Trên đây là những phương trình lượng giác cơ bản nhất thường gặp trong các bài tập, mời các bạn tham khảo thêm tại Bài 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp - Toán lớp 11

IV. Một số lưu ý để giải thành thạo các phương trình lượng giác

Nếu nói về các bài tập liên quan đến phương trình lượng giác thì nhiều vô kể, trong đó có rất nhiều dạng và mẹo giải bài tập mà các bạn cần lưu ý từ cấp độ cơ bản đến nâng cao. Câu hỏi về phương trình lượng giác thường nằm ở bài tập số 2 hoặc 3 của đề thi với tính chất là bài tập gỡ điểm trong các bài thi, cũng có thể là bài tập cuối cùng đem lại điểm 10 tuyệt đối cho thí sinh. Chính vì vậy cách tốt nhất để làm các bài lượng giác trước tiên là nắm chắc nội dung lý thuyết về các công thức lượng giác cơ bản, tham khảo tại Những công thức lượng giác cơ bản và bài tập phương trình lượng giác cơ bản để củng cố thêm kiến thức nền tảng. Để nắm chắc kiến thức đã học thì cần có sự áp dụng, để làm được điều đó các bạn nên có sự luyện tập thường xuyên bằng cách làm đi làm lại các bài tập trong sách giáo khoa, ngoài ra có thể tham khảo thêm các bài tập trên mạng xã hội hoặc các video dạy chữa bài tập. Các bài giải phương trình lượng giác lớp 11 đã được cập nhật chi tiết, tham khảo tại đây Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản - Toán lớp 11. Với hình thức thi tốt nghiệp trung học phổ thông hiện nay, môn Toán học được thi dưới dạng trắc nghiệm, trong đó những bài tập liên quan đến lượng giác sẽ chiếm từ 15 đến 20% tổng số bài, chính vì vậy các bạn nên luyện làm thêm các bài tập trắc nghiệm phương trình lượng giác để luyện kỹ năng tính toán.

Ngoài ra bạn có thể tham khảo thêm Ôn tập chương I - Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Toán lớp 11Hàm số lượng giác,...

Một tips để bạn giải các bài tập lượng giác nhanh và dễ nhớ chính là tập trung vào phần tính lim hay chính là phần tính giới hạn của hàm số, sự thay đổi giới hạn của hàm số theo các đại lượng toán học.. Công thức tính lim chính xác nhất và Các công thức toán học hay nhất có thể tham khảo Tại đây.

Trên đây là bản tổng hợp các dạng phương trình và bài tập lượng giác cần ghi nhớ, nếu bạn quan tâm thì hãy lưu lại mỗi khi cần thiết nhé. Hy vọng rằng những thông tin chúng tôi cung cấp sẽ giúp bạn tìm ra được phương pháp làm tốt nhất cho dạng bài tập này và đem lại điểm số trọn vẹn. Chúc bạn may mắn!

 

Tags phương trình lượng giác cơ bản phương trình lượng giác giải phương trình lượng giác phương trình lượng giác lớp 11 phương trình lượng giác cơ bản lớp 11

Có thể bạn quan tâm