- Tìm nguyên hàm tích phân hàm số chứa căn - Có lời giải chi tiết

Câu 1 : Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {{x^2}\sqrt {{x^3} + 1} dx} \)

A \({{16} \over 9}\)

B \( - {{16} \over 9}\)

C \({{52} \over 9}\)

D \( - {{52} \over 9}\)

Câu 2 : Cho \(I = \int\limits_1^e {{{\sqrt {1 + 3\ln x} } \over x}dx} \) và \(t = \sqrt {1 + 3\ln x} \) Chọn khẳng định sai?

A \(I = {2 \over 3}\int\limits_1^2 {tdt} \)

B \(I = {2 \over 3}\int\limits_1^2 {{t^2}dt} \)

C \(I = \left. {{2 \over 9}{t^3}} \right|_1^2\)

D \(I = {{14} \over 9}\)

Câu 3 : Cho \(I = \int\limits_0^4 {{x^3}\sqrt {{x^2} + 9} dx} \). Nếu đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 9} \) thì ta có kết quả nào sau đây?

A \(I = \int\limits_0^4 {\left( {{t^2} - 9} \right)tdt} \)

B \(I = \int\limits_0^4 {\left( {{t^2} - 9} \right){t^2}dt} \)

C \(I = \int\limits_3^5 {\left( {{t^2} - 9} \right)tdt} \)

D \(I = \int\limits_3^5 {\left( {{t^2} - 9} \right){t^2}dt} \)

Câu 4 : Biến đổi \(\int\limits_0^3 {{x \over {1 + \sqrt {1 + x} }}dx} \) thành \(\int\limits_1^2 {f\left( t \right)dt} \) , với \(t = \sqrt {1 + x} \). Khi đó \(f\left( t \right)\) là hàm số nào trong các hàm số sau đây?

A \(f\left( t \right) = 2{t^2} - 2t\)

B \(f\left( t \right) = {t^2} + t\)

C \(f\left( t \right) = {t^2} - t\)

D \(f\left( t \right) = 2{t^2} + 2t\)

Câu 5 : Họ nguyên hàm \(\int\limits_{}^{} {{x \over {\sqrt {2{x^2} - 1} }}dx} \) bằng:

A \( - {1 \over {4\left( {2{x^2} - 1} \right)}} + C\)

B \({1 \over 2}\ln \sqrt {2{x^2} - 1} + C\)

C \({1 \over 2}\sqrt {2{x^2} - 1} + C\)

D \(8\sqrt {2{x^2} - 1} + C\)

Câu 6 : Nếu đặt \(u = \sqrt {1 - {x^2}} \) thì tích phân \(I = \int\limits_0^1 {{x^5}\sqrt {1 - {x^2}} dx} \) trở thành:

A \(I = \int\limits_1^0 {u\left( {1 - u} \right)du} \)

B \(I = \int\limits_0^1 {u\left( {1 - {u^2}} \right)du} \)

C \(I = \int\limits_1^0 {\left( {{u^4} - {u^2}} \right)du} \)

D \(I = \int\limits_0^1 {{u^2}{{\left( {1 - {u^2}} \right)}^2}du} \)

Câu 7 : Biết \(3\int\limits_0^7 {{e^{\sqrt {3x + 4} }}dx} = a.{e^5} + {b \over 4}{e^2} + c\) với \(a,b,c \in Z\). Tính \(T = a + b + c\)

A 0

B 2

C 4

D 1

Câu 8 : Đặt \(I = \int\limits_1^2 {{{dx} \over {x\sqrt {1 + {x^3}} }}} \) và \(t = \sqrt {1 + {x^3}} \). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A \({x^3} = {t^2} - 1\)

B \({x^2}dx = {2 \over 3}tdt\)

C \(I = \int\limits_{\sqrt 2 }^3 {{2 \over {3\left( {{t^2} - 1} \right)}}dt} \)

D \(I = \int\limits_{\sqrt 2 }^3 {\left( {{1 \over {t - 1}} - {1 \over {t + 1}}} \right)dt} \)

Câu 9 : Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\) và \(\int\limits_0^3 {f\left( {\sqrt {x + 1} } \right)dx} = 8\). Tính tích phân \(I = \int\limits_1^2 {xf\left( x \right)dx} \)

A \(I = 2\)

B \(I = 8\)

C \(I = 4\)

D \(I = 16\)

Câu 10 : Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {1 \over {\sqrt x {{\left( {2\sqrt x + 1} \right)}^2}}},\,\,x > 0\) là:

A \( - {1 \over {2\left( {2\sqrt x + 1} \right)}} + C\)

B

\({{\sqrt x } \over {2\sqrt x + 1}} + C\)

C \({1 \over {2\sqrt x + 1}} + C\)

D \({{ - 1} \over {2\sqrt x + 1}} + C\)

Câu 11 : Cho \(\int\limits_0^b {{{{e^x}} \over {\sqrt {{e^x} + 3} }}dx} = 2\) với \(b \in K\). Khi đó K là khoảng nào trong các khoảng sau?

A \(K = \left( {1;2} \right)\)

B \(K = \left( {0;1} \right)\)

C \(K = \left( {{1 \over 2};{3 \over 2}} \right)\)

D \(K = \left( {2;3} \right)\)

Câu 12 : Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {\sqrt {3 - {x^2}} dx} \)

A \(I = {{3\pi } \over 2}\)

B \(I = {{3\pi } \over 4}\)

C \(I = {{\pi \sqrt 3 } \over 2}\)

D \(I = {{\pi \sqrt 4 } \over 3}\)

Câu 13 : Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{{\pi \over 4}} {{{6\tan x} \over {{{\cos }^2}x\sqrt {3\tan x + 1} }}dx} \) có dạng \({\left( {{m \over n}} \right)^2}\), khi đó ta có \(m - n = ?\)

A 1

B 0

C 3

D -1

Câu 14 : Cho tích phân \(I = \int\limits_1^{\sqrt 3 } {{{\sqrt {1 + {x^2}} } \over {{x^2}}}dx} \) ta được:

A \(\sqrt 2 - {2 \over {\sqrt 3 }} + \ln {{2 - \sqrt 3 } \over {\sqrt 2 - 1}}\)

B \(\sqrt 2 - {2 \over {\sqrt 3 }} + \ln {{\sqrt 2 - 1} \over {2 - \sqrt 3 }}\)

C \(\sqrt 2 - {2 \over {\sqrt 3 }}\)

D \(\ln {{2 - \sqrt 3 } \over {\sqrt 2 - 1}}\)

Câu 15 : Biết \(\int\limits_1^{\sqrt 3 } {{{dx} \over {x\sqrt {{x^2} + 1} }}} = a\ln 3 + b\ln \left( {\sqrt 2 + 1} \right) + c\ln \left( {\sqrt 2 - 1} \right)\) với \(a,b,c \in Q\). Tính \(M = a + 2b - 2c\)

A \(M = 2\)

B \(M = -1\)

C \(M = {1 \over 2}\)

D \(M = {3 \over 2}\)

Câu 16 : Cho \(\int\limits_{}^{} {{{dx} \over {\sqrt {x + 2} + \sqrt {x + 1} }}} = a\left( {x + 2} \right)\sqrt {x + 2} + b\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1} + C\). Khi đó \(3a + b\) bằng:

A \( - {2 \over 3}\)

B \({1 \over 3}\)

C \({4 \over 3}\)

D \({2 \over 3}\)

Câu 17 : Cho \(f\left( x \right) = {x \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}\left( {2\sqrt {{x^2} + 1} + 5} \right)\), biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 6.\) Tính \(F\left( {{3 \over 4}} \right)\)

A \({{125} \over {16}}\)

B \({{126} \over {16}}\)

C \({{123} \over {16}}\)

D \({{127} \over {16}}\)

Câu 18 : Biết rằng \(\int\limits_1^e {{{\sqrt {1 + 3\ln x} \ln x} \over x}dx} = {a \over b}\), trong đó a, b là hai số nguyên dương và \({a \over b}\) là phân số tối giản. Khi đó \(\left| {a - b} \right|\) bằng :

A 18

B 12

C 19

D 8

Câu 19 : Giả sử một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {{{x^2}} \over {\sqrt {1 - {x^3}} }} + {1 \over {\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\) có dạng \(A\sqrt {1 - {x^3}} + {B \over {1 + \sqrt x }}\). Hãy tính A + B.

A \(A + B = - 2\)

B \(A + B = {8 \over 3}\)

C \(A + B = 2\)

D \(A + B = - {8 \over 3}\)

Câu 20 : Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x \over {\sqrt {8 - {x^2}} }}\) thỏa mãn \(F\left( 2 \right) = 0\). Khi đó phương trình \(F\left( x \right) = x\) có tổng tất cả các nghiệm bằng :

A \(1 + \sqrt 3 \)

B 2

C 1

D \(1 - \sqrt 3 \)

- Tìm nguyên hàm tích phân hàm số chứa căn - Có l...