Biết \(\int\limits_1^{\sqrt 3 } {{{dx} \over {x\sq...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ \(t = \sqrt {{x^2} + 1} \)

Giải chi tiết:

\(I = \int\limits_1^{\sqrt 3 } {{{dx} \over {x\sqrt {{x^2} + 1} }}}  = \int\limits_1^{\sqrt 3 } {{{xdx} \over {{x^2}\sqrt {{x^2} + 1} }}} \)

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 1}  \Leftrightarrow {t^2} = {x^2} + 1 \Leftrightarrow tdt = xdx\) và \({x^2} = {t^2} - 1\), đổi cận \(\left\{ \matrix{  x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 2  \hfill \cr   x = \sqrt 3  \Rightarrow t = 2 \hfill \cr}  \right.\)

Khi đó ta có:

\(\eqalign{  & I = \int\limits_{\sqrt 2 }^2 {{{tdt} \over {\left( {{t^2} - 1} \right)t}}}  = \int\limits_{\sqrt 2 }^2 {{{dt} \over {\left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right)}}}  = {1 \over 2}\int\limits_{\sqrt 2 }^2 {\left( {{1 \over {t - 1}} - {1 \over {t + 1}}} \right)dt}   \cr   &  = \left. {{1 \over 2}\ln \left| {{{x - 1} \over {x + 1}}} \right|} \right|_{\sqrt 2 }^2 = {1 \over 2}\ln {1 \over 3} - {1 \over 2}\ln \left| {{{\sqrt 2  - 1} \over {\sqrt 2  + 1}}} \right| =  - {1 \over 2}\ln 3 - {1 \over 2}\ln \left( {\sqrt 2  - 1} \right) + {1 \over 2}\ln \left( {\sqrt 2  + 1} \right)  \cr   &  \Rightarrow \left\{ \matrix{  a =  - {1 \over 2} \hfill \cr   b = {1 \over 2} \hfill \cr   c =  - {1 \over 2} \hfill \cr}  \right. \Rightarrow M = a + 2b - 2c =  - {1 \over 2} + 1 + 1 = {3 \over 2} \cr} \)

Chọn D.