Biết rằng \(\int\limits_1^e {{{\sqrt {1 + 3\ln x}...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \sqrt {1 + 3\ln x} \)

Giải chi tiết:

Đặt \(\sqrt {1 + 3\ln x}  = t \Leftrightarrow 1 + 3\ln x = {t^2} \Leftrightarrow 3{{dx} \over x} = 2tdt \Rightarrow {{dx} \over x} = {{2tdt} \over 3}\) và \(\ln x = {{{t^2} - 1} \over 3}\)

Đổi cận \(\left\{ \matrix{  x = 1 \Leftrightarrow t = 1 \hfill \cr   x = e \Rightarrow t = 2 \hfill \cr}  \right.\), khi đó  \(\eqalign{  & \int\limits_1^e {{{\sqrt {1 + 3\ln x} \ln x} \over x}dx}  = \int\limits_1^2 {t.{{{t^2} - 1} \over 3}.{{2tdt} \over 3}}  = {2 \over 9}\int\limits_1^2 {\left( {{t^4} - {t^2}} \right)dt}  = {2 \over 9}\left. {\left( {{{{t^5}} \over 5} - {{{t^3}} \over 3}} \right)} \right|_1^2 = {2 \over 9}\left( {{{56} \over {15}} + {2 \over {15}}} \right) = {{116} \over {135}}  \cr   &  \Rightarrow \left\{ \matrix{  a = 116 \hfill \cr   b = 135 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left| {a - b} \right| = 19 \cr} \)

Chọn C.