Giả sử một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \righ...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\(\int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{}^{} {{{{x^2}} \over {\sqrt {1 - {x^3}} }}dx}  + \int\limits_{}^{} {{1 \over {\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}dx}  = {I_1} + {I_2}\)

Với I₁ đặt \(t = \sqrt {1 - {x^3}} \), I₂ đặt \(t = 1 + \sqrt x \)

Giải chi tiết:

\(\int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{}^{} {{{{x^2}} \over {\sqrt {1 - {x^3}} }}dx}  + \int\limits_{}^{} {{1 \over {\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}dx}  = {I_1} + {I_2}\)

Xét \({I_1} = \int\limits_{}^{} {{{{x^2}} \over {\sqrt {1 - {x^3}} }}dx} \). Đặt \(t = \sqrt {1 - {x^3}}  \Leftrightarrow {t^2} = 1 - {x^3} \Leftrightarrow 2tdt =  - 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx =  - {2 \over 3}tdt\)

\( \Rightarrow {I_1} = \int\limits_{}^{} {{{ - {2 \over 3}tdt} \over t}}  = {{ - 2} \over 3}t + C =  - {2 \over 3}\sqrt {1 - {x^3}}  + C\)

Xét \({I_2} = \int\limits_{}^{} {{1 \over {\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}dx} \), đặt \(t = 1 + \sqrt x  \Rightarrow dt = {1 \over {2\sqrt x }}dx \Rightarrow {{dx} \over {\sqrt x }} = 2dt\)

\(\eqalign{  &  \Rightarrow {I_2} = \int\limits_{}^{} {{{2dt} \over {{t^2}}}}  =  - {2 \over t} + C =  - {2 \over {1 + \sqrt x }} + C  \cr   &  \Rightarrow I =  - {2 \over 3}\sqrt {1 - {x^3}}  - {2 \over {1 + \sqrt x }} + C  \cr   &  \Rightarrow \left\{ \matrix{  A =  - {2 \over 3} \hfill \cr   B =  - 2 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow A + B =  - {8 \over 3} \cr} \).

Chọn D.