Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cô-si - Có lời giải chi tiết.

Câu 1 : Giá trị nhỏ nhất của \(P=\frac{x}{2}+\frac{8}{x},\,\,x>0\) là:

A \(2\)

B \(4\)

C \(6\)

D \(8\)

Câu 2 : Giá trị nhỏ nhất của \(P=\frac{x}{2}+\frac{8}{x},\,\,x\ge 5\) là:

A \(2\)

B \(4\)

C \(\frac{41}{10}\)

D \(\frac{51}{10}\)

Câu 3 : Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(B=x+\frac{1}{x-1},x>1\) là:

A \(4\)

B \(3\)

C \(5\)

D \(6\)

Câu 4 : Cho \(\Delta ABC\) giả sử \(a=BC,\,b=CA,\,c=AB.\) Để có đẳng thức\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}=3\) thì:

A \(\Delta ABC\) là tam giác đều

B \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)

C \(\Delta ABC\) là tam giác vuông cân

D \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\)

Câu 5 : Cho \(x,y,z\ge 0\) thỏa mãn \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=3.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(P=\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{xz+1}+\frac{1}{\text{y}z+1}\) đạt được tại

A \(x=y=z=1\)

B \(x=y=z=-1\)

C \(x=\sqrt{2},y=1,z=0\)

D \(x=\sqrt{2},y=z=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Câu 6 : Cho \(a,b>0,\,\,a+b=1.\) Giá trị lớn nhất của \(P=a{{b}^{2}}\) là

A \(1\)

B \(2\)

C \(\frac{4}{27}\)

D \(\frac{27}{4}\)

Câu 7 : Cho \(a,b,c>0\) thỏa mãn \(a+b+c=3.\) Khi đó giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\) là:

A \(\sqrt{2}\)

B \(2\sqrt{2}\)

C \(4\sqrt{2}\)

D \(3\sqrt{2}\)

Câu 8 : Cho \(a,b,c>0\) Giá trị nhỏ nhất của \(Q=\left( a+2b+3c \right)\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c} \right)\) là

A \(9\)

B \(8\)

C \(6\)

D \(3\)

Câu 9 : Cho \(x,y,z>0\)(i) \(\frac{{{x}^{3}}}{y}+\frac{{{y}^{3}}}{z}+\frac{{{z}^{3}}}{x}\ge {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\) (ii)\(\frac{{{x}^{2}}}{y}+\frac{{{y}^{2}}}{z}+\frac{{{z}^{2}}}{x}\ge x+y+z.\) Khi đó

A \(\left( i \right),\left( ii \right)\) đều sai

B Chỉ có\(\left( i \right)\) đúng

C Chỉ có \(\left( ii \right)\) đúng

D Cả hai đều đúng.

Câu 10 : Cho \(a+b+c=2,\,\,a,b,c>0.\) Khi đó giá trị lớn nhất của \(Q=\sqrt{2a+bc}+\sqrt{2b+ac}+\sqrt{2c+ab}\) là:

A \(1\)

B \(2\)

C \(3\)

D \(4\)

Câu 11 : Cho \(\Delta ABC\) có độ dài các cạnh là \(a,b,c.\) Giả sử rằng \(P=ab\left( a+b-2c \right)+bc\left( b+c-2a \right)+ca\left( c+a-2b \right).\) Khi đó điều nào sau đây là đúng:

A \(P\ge 0\)

B \(P=0\) khi và chỉ khi \(\Delta ABC\) đều

C A,B đều sai

D \(A,B\) đều đúng.

Câu 12 : Cho \(x,y>0\) thỏa mãn \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=\frac{-2xy}{1+xy}\) là:

A \(-\frac{2}{3}\)

B \(\frac{1}{3}\)

C \(-\frac{1}{3}\)

D \(\frac{2}{3}\)

Câu 13 : Cho \(a,b\ge 0\) thỏa mãn \(a+b\le 2.\) Giả sử rằng \(\frac{2+a}{1+a}+\frac{1-2b}{1+2b}=\frac{8}{7}.\) Khi đó điều nào sau đây là đúng:

A \(a=\frac{1}{4},b=\frac{7}{4}\)

B \(a=1,b=1\)

C \(a=\frac{3}{4},b=\frac{5}{4}\)

D \(a=0,b=2\)

Câu 14 : Cho \(a,\,b,\,c>0\) thỏa mãn \(a+b+c+ab+bc+ca=6abc.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(P=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\) là:

A \(3\)

B \(4\)

C \(5\)

D \(6\)

Câu 15 : Cho \(\Delta ABC\) có độ dài các cạnh là \(a,b,c.\) Giả sử rằng \(P=\frac{a}{-a+b+c}+\frac{b}{a-b+c}+\frac{c}{a+b-c}.\) Khi đó điều nào sau đây là đúng:

A \(P\ge 3\)

B \(P=3\) khi và chỉ khi \(\Delta ABC\) đều

C \(P<3\)

D \(A,B\) đều đúng.

Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp sử dụng...