Cho \(a,\,b,\,c>0\) thỏa mãn...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Chia cả hai vế \(a+b+c+ab+bc+ca=6abc\) cho \(abc\) rồi đặt ẩn phụ đưa bài toán về bài toán quen thuộc rồi áp dụng bất đẳng thức Cô-si đánh giá tìm GTNN của \(P\).

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Chia cả hai vế \(a+b+c+ab+bc+ca=6abc\) cho \(abc\) ta nhận được

\(\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=6\,\,\left( 1 \right).\) Đặt \(x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}.\)

Khi đó \(\left( 1 \right)\) trở thành \(x+y+z+xy+yz+zx=6.\)

Hơn nữa \(P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bộ \(\left( {{x}^{2}},{{y}^{2}} \right),\left( {{y}^{2}},{{z}^{2}} \right),\left( {{z}^{2}},{{x}^{2}} \right) \) ta nhận được \(\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 2xy, \\  & {{y}^{2}}+{{z}^{2}}\ge 2yz, \\  & {{z}^{2}}+{{x}^{2}}\ge 2zx \\ \end{align} \right.\,\,\left( 2 \right).\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bộ \(\left( {{x}^{2}},1 \right),\left( {{y}^{2}},1 \right),\left( {{z}^{2}},1 \right)\)  ta nhận được \(\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+1\ge 2x, \\ & {{y}^{2}}+1\ge 2y, \\  & {{z}^{2}}+1\ge 2z \\ \end{align} \right.\,\,\left( 3 \right).\)

Từ \(\left( 2 \right),\left( 3 \right)\) ta nhận được:

\(\begin{align} & \,\,\,\,\,3P+3\ge 2\left( xy+yz+zx \right)+2\left( x+y+z \right)=2\left( xy+yz+zx+x+y+z \right)=12 \\  & \Rightarrow P\ge 3. \\ \end{align}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(3\) đạt được khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2xy \\  & {{y}^{2}}+{{z}^{2}}=2yz \\  & {{z}^{2}}+{{x}^{2}}=2zx \\ & {{x}^{2}}+1=2x \\  & {{y}^{2}}+1=2y \\  & {{z}^{2}}+1=2z \\  & xy+yz+zx+x+y+z=6 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=y=z=1.\)

Chọn đáp án A.