Cho \(\Delta ABC\) giả sử \(a=BC,\,b=CA,\,c=AB.\)...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Nhận thấy \(a,b,c\) là các cạnh tam giác nên \(a+b-c>0,b+c-a>0,c+a-b>0\) nên có thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số không âm.

Đánh giá \(VT\ge 3\) rồi sử dụng điều kiện dấu “=” xảy ra ta có kết luận.

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Do \(a,b,c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác nên \(b+c-a>0,\,c+a-b>0,\,a+b-c>0.\) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương \(\frac{a}{b+c-a},\,\frac{b}{c+a-b},\,\frac{c}{a+b-c}\) ta nhận được

\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge 3\sqrt{3}{\frac{a}{b+c-a}.\frac{b}{c+a-b}.\frac{c}{a+b-c}}=3\sqrt{3}{\frac{abc}{\left( b+c-a \right)\left( c+a-b \right)\left( a+b-c \right)}}\,\,\,\left( 1 \right).\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(b+c-a>0,\,c+a-b>0\) ta nhận được

\(\sqrt{\left( b+c-a \right)\left( c+a-b \right)}\le \frac{\left( b+c-a \right)+\left( c+a-b \right)}{2}=c\,\,\left( 2 \right).\)

Tương tự ta có  \(\sqrt{\left( b+c-a \right)\left( a+b-c \right)}\le \frac{\left( b+c-a \right)+\left( a+b-c \right)}{2}=b\,\,\left( 3 \right).\)

\(\sqrt{\left( c+a-b \right)\left( a+b-c \right)}\le \frac{\left( b+c-a \right)+\left( a+b-c \right)}{2}=a\,\,\left( 4 \right).\)

Nhân vế theo vế các bất đẳng thức \(\left( 2 \right),\,\left( 3 \right)\) và \(\left( 4 \right)\) ta nhận được

\(\left( a+b-c \right)\left( b+c-a \right)\left( c+a-b \right)\le abc\,\,\left( 5 \right).\)

Thay \(\left( 5 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta nhận được \(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge 3.\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{align} & \frac{a}{b+c-a}=\frac{b}{a+c-b}=\frac{c}{a+b-c} \\  & b+c-a=a+c-b \\  & b+c-a=a+b-c \\  & a+c-b=a+b-c \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow a=b=c.\)

Khi đó \(\Delta ABC\) là tam giác đều.

Chọn đáp án A.