Cho \(x,y>0\) thỏa mãn \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1....

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 2xy\).

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho \(\left( {{x}^{2}},{{y}^{2}} \right)\) ta nhận được

\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 2xy\Rightarrow xy\le \frac{1}{2}\Rightarrow 1+xy\le \frac{3}{2}\Rightarrow \frac{1}{1+xy}\ge \frac{2}{3}\Rightarrow \frac{2}{1+xy}\ge \frac{4}{3}.\)

Từ đó \(A=\frac{-2xy}{1+xy}=-2+\frac{2}{1+xy}\ge -2+\frac{4}{3}=-\frac{2}{3}.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  \(\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}={{y}^{2}} \\  & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1 \\  & x,y>0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(A\) là \(-\frac{2}{3}.\)

Chọn đáp án A.