Cho \(a,b\ge 0\) thỏa mãn \(a+b\le 2.\) Giả sử rằn...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Phối hợp hai kĩ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân và từ trung bình nhân sang trung bình cộng để đánh giá \(\frac{2+a}{1+a}+\frac{1-2b}{1+2b}\ge \frac{8}{7}.\) Từ đó dùng điều kiện xảy ra dấu “=” để kết luận.

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Ta có : \(\frac{2+a}{1+a}+\frac{1-2b}{1+2b}=\left( 1+\frac{1}{1+a} \right)+\left( -1+\frac{2}{1+2b} \right)=\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+2b}=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+\frac{1}{2}}\,\,\left( 1 \right).\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho \(\left( \frac{1}{a+1},\frac{1}{b+\frac{1}{2}} \right)\) ta nhận được

\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{b+\frac{1}{2}}\ge 2\sqrt{\frac{1}{1+a}.\frac{1}{b+\frac{1}{2}}}=\frac{2}{\sqrt{\left( a+1 \right)\left( b+\frac{1}{2} \right)}}\,\,\,\left( 2 \right).\)

Mặt khác từ bất đẳng thức Cô-si ta cũng có  \(\sqrt{\left( a+1 \right)\left( b+\frac{1}{2} \right)}\le \frac{\left( a+1 \right)+\left( b+\frac{1}{2} \right)}{2}=\frac{\left( a+b \right)+\frac{3}{2}}{2}\le \frac{7}{4}.\)

Do đó \(\frac{1}{\sqrt{\left( a+1 \right)\left( b+\frac{1}{2} \right)}}\ge \frac{4}{7}\,\,\left( 3 \right).\)

Từ \(\left( 3 \right)\),\(\left( 2 \right)\) và \(\left( 1 \right)\) ta nhận được: \(\frac{2+a}{1+a}+\frac{1-2b}{1+2b}\ge \frac{8}{7}.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{1 + a}} = \frac{1}{{b + \frac{1}{2}}}\\\sqrt {a + 1} = \sqrt {b + \frac{1}{2}} \\a + b = 2\\a,b \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = a + \frac{1}{2}\\a + b = 2\\a,b \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{4}\\b = \frac{5}{4}\end{array} \right..\)

Chọn đáp án C.