Cho \(\Delta ABC\) có độ dài các cạnh là \(a,b,c....

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Đổi biến \(\left\{\begin{align} & x=-a+b+c \\ & y=a-b+c \\ & z=a+b-c \\  \end{align} \right.\) đưa bài toán về dạng quen thuộc và sử dụng kĩ thuật tách nghịch đảo \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2\).

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Đổi biến, ta đặt \(\left\{\begin{align} & x=-a+b+c \\ & y=a-b+c \\ & z=a+b-c \\ \end{align} \right..\)

Khi đó ta có \(\left\{ \begin{align} & a=\frac{y+z}{2} \\ & b=\frac{z+x}{2} \\  & c=\frac{x+y}{2} \\ \end{align} \right..\) Thay biểu thức trên vào \(P\) ta được

\(\begin{align}& P=\frac{\frac{y+z}{2}}{-\left( \frac{y+z}{2} \right)+\frac{x+z}{2}+\frac{x+y}{2}}+\frac{\frac{x+z}{2}}{\frac{y+z}{2}-\frac{x+z}{2}+\frac{x+y}{2}}+\frac{\frac{x+y}{2}}{\frac{y+z}{2}+\frac{x+z}{2}-\frac{x+y}{2}} \\  & \,\,\,\,=\frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z} \\  & \,\,\,\,=\frac{1}{2}\left( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right)+\frac{1}{2}\left( \frac{x}{z}+\frac{z}{x} \right)+\frac{1}{2}\left( \frac{y}{z}+\frac{z}{y} \right)\,\,\left( 1 \right). \\ \end{align}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bộ \(\left( \frac{x}{y},\frac{y}{x} \right),\left( \frac{x}{z},\frac{z}{x} \right),\left( \frac{y}{z},\frac{z}{y} \right)\) ta nhận được \(\left\{ \begin{align}& \frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge 2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2 \\  & \frac{x}{z}+\frac{z}{x}\ge 2\sqrt{\frac{x}{z}.\frac{z}{x}}=2 \\  & \frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge 2\sqrt{\frac{y}{z}.\frac{z}{y}}=2 \\ \end{align} \right.\,\,\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta nhận được \(P\ge \frac{1}{2}.2+\frac{1}{2}.2+\frac{1}{2}.2=3.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{\begin{align} & \frac{x}{y}=\frac{y}{x} \\ & \frac{x}{z}=\frac{z}{x} \\ & \frac{y}{z}=\frac{z}{y} \\ & x,y,z>0 \\ \end{align} \right.\,\,\Leftrightarrow x=y=z\Leftrightarrow a=b=c.\)

Vậy đáp án A, B đều đúng.

Chọn đáp án D.