Cho \(a,b>0,\,\,a+b=1.\) Giá trị lớn nhất của \...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

- Nhận thấy tích \(a{{b}^{2}}\) chứa 1 thừa số \(a\) và 2 thừa số \(b\) nên cần tách tổng \(a+b\) thành \(a+\frac{b}{2}+\frac{b}{2}\).

- Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số \(a,\frac{b}{2},\frac{b}{2}\)

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số \(a,\frac{b}{2},\frac{b}{2}\) ta nhận được \(P=a{{b}^{2}}=4a.\frac{b}{2}.\frac{b}{2}\le 4{{\left( \frac{a+\frac{b}{2}+\frac{b}{2}}{3} \right)}^{3}}=4{{\left( \frac{a+b}{3} \right)}^{3}}=\frac{4}{27}.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \( \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{b}{2}\\a + b = 1\\a,b > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a = b\\3a = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{3}\\b = \frac{2}{3}\end{array} \right..\)

Chọn đáp án C.