Cho \(x,y,z\ge 0\) thỏa mãn \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương \(\frac{1}{xy+1},\frac{1}{xz+1},\frac{1}{\text{y}z+1}\) và dùng kĩ thuật đánh giá trung bình nhân sang trung bình cộng cho tích \(\sqrt{3}{\left( xy+1 \right)\left( yz+1 \right)\left( xz+1 \right)}\).

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Do \(x,y,z\ge 0\) nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số \(\frac{1}{xy+1},\frac{1}{xz+1},\frac{1}{\text{y}z+1}\) ta nhận được

\(P\ge 3\sqrt{3} {\frac{1}{xy+1}.\frac{1}{xz+1}.\frac{1}{yz+1}}=3\sqrt{3} {\frac{1}{\left( xy+1 \right)\left( yz+1 \right)\left( xz+1 \right)}}\,\,\,\left( 1 \right).\) 

Áp dụng bất đằng thức Cô-si cho ba số \(xy+1,\,yz+1,\,xz+1\) ta có

\(\left( xy+1 \right)+\left( yz+1 \right)+\left( xz+1 \right)\ge 3\sqrt{3}{\left( xy+1 \right)\left( yz+1 \right)\left( xz+1 \right)}\,\,\left( 2 \right).\)

Nhân theo vế \(\left( 1 \right)\) với \(\left( 2 \right)\) ta nhận được \(P\left( \left( xy+1 \right)+\left( yz+1 \right)+\left( xz+1 \right) \right)\ge 9\Rightarrow P\ge \frac{9}{xy+yz+zx+3}\,\,\left( 3 \right).\)

Mặt khác theo bất đẳng thức Cô-si ta cũng có  \(\left\{ \begin{align} & 2xy\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \\  & 2yz\le {{y}^{2}}+{{z}^{2}} \\  & 2xz\le {{x}^{2}}+{{z}^{2}} \\ \end{align} \right.\,\) 

Do đó \(xy+yz+xz\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=3\,\,\left( 4 \right).\) Từ \(\left( 3 \right)\) và \(\left( 4 \right)\) ta nhận được  \(P\ge \frac{9}{6}=\frac{3}{2}.\)

Ta có \(P=\frac{3}{2}\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{align} & \frac{1}{xy+1}=\frac{1}{yz+1}=\frac{1}{zx+1} \\  & xy+1=yz+1=xz+1 \\  & 2xy={{x}^{2}}+{{y}^{2}} \\  & 2yz={{y}^{2}}+{{z}^{2}} \\  & 2xz={{x}^{2}}+{{z}^{2}} \\  & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=3 \\  & x,y,z>0 \\  \end{align} \right.\Leftrightarrow x=y=z=1.\)

Chọn đáp án A.