Cho \(a,b,c>0\) Giá trị nhỏ nhất của \(Q=\left(...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Dùng kĩ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân \(x+y+z\ge 3\sqrt[3]{xyz}\).

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương ta nhận được

\(a+2b+3c\ge 3\sqrt{3}{a\left( 2b \right)\left( 3c \right)}=3\sqrt[3]{6abc}.\)

Tương tự ta có  \(\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}\ge \frac{3}{\sqrt{3}{6abc}}.\)

Nhân vế theo vế các bất đẳng thức trên ta nhận được

\(Q=\left( a+2b+3c \right)\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{3c} \right)\ge \left( 3\sqrt[3]{6abc} \right)\left( \frac{3}{\sqrt{3}{6abc}} \right)=9.\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  \(\left\{ \begin{align} & a=2b=3c \\  & \frac{1}{a}=\frac{1}{2b}=\frac{1}{3c} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow a=2b=3c.\)

Chọn đáp án A.