Cho \(x,y,z>0\)(i) \(\frac{{{x}^{3}}}{y}+\frac{...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

- Áp dụng bất đẳng thức Cô-si để đánh giá hai bất đẳng thức \(\left( i \right),\left( ii \right)\).

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số \(\frac{{{x}^{3}}}{y},xy\) ta nhận được: \(\frac{{{x}^{3}}}{y}+xy\ge 2\sqrt{\frac{{{x}^{3}}}{y}.\left( xy \right)}=2{{x}^{2}}.\) 

Tương tự ta có \(\left\{ \begin{align} & \frac{{{y}^{3}}}{z}+yz\ge 2{{y}^{2}} \\  & \frac{{{z}^{3}}}{x}+xz\ge 2{{z}^{2}} \\ \end{align} \right.\)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có 

\(\frac{{{x}^{3}}}{y}+\frac{{{y}^{3}}}{z}+\frac{{{z}^{3}}}{x}+\left( xy+yz+xz \right)\ge 2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)\,\,\left( 1 \right).\)

Mặt khác ta có \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\ge xy+yz+xz\) (xem ở câu 4). Thay bất đẳng thức này vào \(\left( 1 \right)\) ta nhận được

\(\begin{align} & \,\,\,\,\,\,\frac{{{x}^{3}}}{y}+\frac{{{y}^{3}}}{z}+\frac{{{z}^{3}}}{x}+\left( xy+yz+xz \right)\ge 2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)\,\,\ge \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)+\left( xy+yz+xz \right). \\  & \Rightarrow \frac{{{x}^{3}}}{y}+\frac{{{y}^{3}}}{z}+\frac{{{z}^{3}}}{x}\ge {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}. \\ \end{align}\)

Vậy \(\left( i \right)\) đúng.

Chứng minh tương tự ta nhận đươc \(\left( ii \right)\) đúng.

Chọn đáp án D.