Cho \(a+b+c=2,\,\,a,b,c>0.\) Khi đó giá trị lớ...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Thay \(a+b+c=2\) vào \(Q\) rồi biến đổi để \(Q\) có chứa các hạng tử trung bình nhân rồi sử dụng kĩ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng.

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Thay \(a+b+c=2\) vào \(Q\) ta nhận được

\(\begin{align} & Q=\sqrt{\left( a+b+c \right)a+bc}+\sqrt{\left( a+b+c \right)b+ac}+\sqrt{\left( a+b+c \right)c+ab} \\  & \,\,\,\,\,=\sqrt{{{a}^{2}}+ab+ac+bc}+\sqrt{{{b}^{2}}+ab+ac+bc}+\sqrt{{{c}^{2}}+ab+ac+bc}\,\,\left( 1 \right) \\  & \,\,\,\,\,=\sqrt{\left( a+b \right)\left( a+c \right)}+\sqrt{\left( a+b \right)\left( b+c \right)}+\sqrt{\left( a+c \right)\left( b+c \right)}. \\ \end{align}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bộ \(\left( \sqrt{a+b},\sqrt{a+c} \right)\) ta nhận được \(\sqrt{\left( a+b \right)\left( a+c \right)}\le \frac{\left( a+b \right)+\left( a+c \right)}{2}\,\,\,\,\left( 2 \right).\)

Chứng minh tương tự ta có  \(\sqrt{\left( a+b \right)\left( b+c \right)}\le \frac{\left( a+b \right)+\left( b+c \right)}{2}\,\,\,\,\left( 3 \right),\)

                                             \(\sqrt{\left( a+c \right)\left( b+c \right)}\le \frac{\left( a+c \right)+\left( b+c \right)}{2}\,\,\,\,\left( 4 \right).\)

Cộng vế theo vế \(\left( 2 \right),\left( 3 \right),\left( 4 \right)\) ta nhận được 

\(\sqrt{\left( a+b \right)\left( a+c \right)}+\sqrt{\left( a+b \right)\left( b+c \right)}+\sqrt{\left( a+c \right)\left( b+c \right)}\le 2\left( a+b+c \right)=4\,\,\left( 5 \right).\)

Thay \(\left( 5 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta nhận được \(Q\le 4.\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{align} & \sqrt{a+b}=\sqrt{a+c} \\  & \sqrt{a+c}=\sqrt{b+c} \\  & \sqrt{a+b}=\sqrt{a+c} \\  & a+b+c=2 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow a=b=c=\frac{2}{3}.\)

Chọn đáp án D.