Cho \(a,b,c>0\) thỏa mãn \(a+b+c=3.\) Khi đó gi...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Dùng kĩ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng \(xy\le \frac{x+y}{2}\).

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bộ \(\left( \sqrt{a+b},\sqrt{2} \right)\) ta nhận được

\(\sqrt{a+b}=\frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{a+b}\sqrt{2}\le \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{a+b+2}{2}\,\,\left( 1 \right).\)

Chứng minh tương tự ta có  \(\sqrt{b+c}\le \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{b+c+2}{2}\,\,\left( 2 \right),\)

                                             \(\sqrt{c+a}\le \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{c+a+2}{2}\,\,\left( 3 \right).\)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right),\,\,\left( 3 \right)\) ta nhận được

\(P\le \frac{\left( a+b+2 \right)+\left( b+c+2 \right)+\left( c+a+2 \right)}{2\sqrt{2}}=\frac{2\left( a+b+c \right)+6}{2\sqrt{2}}=3\sqrt{2}.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{align} & a+b=2 \\ & b+c=2 \\  & c+a=2 \\ & a+b+c=3 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow a=b=c=1.\)

Chọn đáp án D.