Giá trị nhỏ nhất của \(P=\frac{x}{2}+\frac{8}{x},\...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Phân tích đề:

- Nếu áp dụng bất đẳng thức Cô-si đơn thuần ta sẽ nhận được \(P\ge 4\) nhưng dấu “=” không xảy ra khi \(x\ge 5\).

- Áp dụng kĩ thuật chọn điểm rơi khi \(x=5\) thì \({{x}^{2}}=25\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{25/2}{x}=\frac{25}{2x}\) nên ta sẽ áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm \(\frac{x}{2},\,\frac{25}{2x}\).

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\frac{x}{2},\,\frac{25}{2x}\) ta nhận được

\(\frac{x}{2}+\frac{25}{2x}\ge 2\sqrt{\frac{x}{2}.\frac{25}{2x}}=2\sqrt{\frac{25}{4}}=5\,\,\left( 1 \right).\)

Mặt khác ta lại có \(x\ge 5\Rightarrow \frac{1}{x}\le \frac{1}{5}\Rightarrow -\frac{9}{2x}\ge -\frac{9}{10}\,\left( 2 \right).\)

Cộng vế theo vế bất đẳng thức \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta nhận được \(P=\frac{x}{2}+\frac{8}{x}\ge \frac{41}{10}.\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{align}  & \frac{x}{2}=\frac{25}{2x} \\  & x=5 \\  & x>0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=5.\)

Chọn đáp án C.